人教B版（2019） 必修 第四册 第十一章　培优课　与球有关的内切、外接问题（课件+学案+练习，共3份）

培优课　与球有关的内切、外接问题 ［学习目标］　1.掌握简单几何体的外接球问题的求解方法.2.会求特殊几何体的内切球的相关问题. 一、直接法 例1　(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，一个底面的周长为3，则这个球的体积为　　　　. (2)在三棱锥A-BCD中，侧棱长均为2，底面是边长为2的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为　　　　. 反思感悟　找几何体的外接球球心，即找点O，使点O与几何体各顶点的距离相等.正棱锥的外接球球心在底面的垂线上，直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点. 跟踪训练1　正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　) A. B.16π C.9π D. 二、构造法 例2　(1)三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=2，且V三棱锥A-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　. 延伸探究　若把条件改为三棱锥A-BCD的三个面是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥BD，AB=BC=2，且V三棱锥A-BCD=，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　. (2)“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知AB=1，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有(　　) A.该半正多面体的体积为 B.该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为 C.该半正多面体外接球的表面积为8π D.该半正多面体的表面积为6+2 反思感悟　构造法的解题策略 (1)侧面为直角三角形的四面体或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解. ①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示. ②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示. ③正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=，如图3所示. ④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示. (2)将直三棱锥补成三棱柱求解. 跟踪训练2　三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是，，，则该三棱锥的外接球的体积是(　　) A. B. C.π D.8π 三、寻求轴截面圆半径法 例3　已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为(　　) A. B. C. D. 反思感悟　与球截面有关的解题策略 (1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径. (2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. 跟踪训练3　已知四棱锥P-ABCD的侧棱长均相等，其各个顶点都在球O的球面上，AB=BC，∠ABC=90°，AD=2，CD=2，三棱锥P-ABC的体积为，则球O的表面积为(　　) A.25π B. C.32π D. 四、确定球心的位置法 例4　在三棱锥A-BCD中，∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=2，AB=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为　　　　. 反思感悟　对于一般的几何体来说，解决外接球问题，关键是找到球心.由外接球定义，其球心在过每个面的多边形的外心且与该面垂直的直线上. 跟踪训练4　已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的3倍，若这两个圆锥的体积之和为4π，则球的体积为　　　　. 五、等体积法求内切球问题 例5　各棱长均为的四面体内有一内切球，求该球的体积. 延伸探究　求本例所给四面体外接球的表面积. 反思感悟　求几何体的内切球问题的关键是把几何体分割成以球心为顶点，各个面为底面的棱锥， ... ...