人教B版（2019） 必修 第四册 第十一章　习题课　空间角的求解（课件+学案+练习，共3份）

习题课　空间角的求解 ［学习目标］　理解异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角，并掌握其求解方法. 一、异面直线所成的角 例1　已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，且BC=2，PA=AD=AB=1，求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小. 跟踪训练1　已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6.求异面直线AB1 与BC1所成角的余弦值. 二、直线与平面所成的角 例2　如图，在三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，O为PB的中点，求直线CO与平面PAC所成角的余弦值. 反思感悟　求斜线和平面所成角关键是作垂线，找射影，过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样便于计算. 跟踪训练2　已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成角的余弦值. 三、二面角的求法 例3　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC所成的角为30° ，求二面角B-B1C-A的正弦值. 反思感悟　求二面角时要根据题中图形的几何特征，选取适当的方法求解. 跟踪训练3　在三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=60°，求二面角A-PB-C的余弦值. 1.知识清单 (1)异面直线所成的角. (2)直线与平面所成的角. (3)二面角的求解方法. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：寻找二面角的平面角，求二面角的三角函数值时出错. 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与B1D所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 2.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA=，则二面角A-BD-P的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 3.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB∶BB1=∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为(　　) A.45° B.60° C.30° D.75° 4.已知点O在二面角α-AB-β的棱上，点P在平面α内，且∠POB=60°.若直线PO与平面β所成的角为45°，则二面角α-AB-β的正弦值为　　　　. 答案精析 例1　解　如图，过点C作CE∥BD交AD的延长线于E，连接PE，AC，则PC与BD所成的角为∠PCE或它的补角. 由作法可得四边形BCED为平行四边形， 所以CE=BD=，且PE==， AC==， PC==， 由余弦定理得 cos∠PCE==-， ∴PC与BD所成角的余弦值为. 跟踪训练1　解　把正三棱柱ABC-A1B1C1补为正四棱柱ABCE-A1B1C1E1，如图所示，底面ABCE为菱形， 连接C1E，BE， 因为在正四棱柱ABCE-A1B1C1E1中，AB1∥C1E，故∠BC1E或其补角即为异面直线AB1 与BC1所成角. 因为BC1=C1E==10， BE==8， 在△BC1E中，由余弦定理得cos∠BC1E==， 所以异面直线AB1 与BC1所成角的余弦值为. 例2　解　如图，取PC的中点为E， 连接EO， 则OE∥BC. ∵PA⊥平面ABC， BC 平面ABC， ∴PA⊥BC. 又AC⊥BC，AC∩PA=A， AC，PA 平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. ∴OE⊥平面PAC， ∴∠OCE为直线CO与平面PAC所成的角. 设PA=AC=BC=2， 则OE=1，CE=，OC=， ∴cos∠OCE==. ∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为. 跟踪训练2　解　如图，设正三棱锥S-ABC的底面边长为a，则侧棱长为2a. 设O为底面△ABC的中心， 则∠SAO为SA和平面ABC所成的角. 在Rt△SAO中，因为AO=×a=a， 所以cos∠SAO===， 即侧棱和底面所成角的余弦值为. 例3　解　由直三棱柱性质得平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC， 过A作AN⊥BC，垂足为N， 则AN⊥平面BCC1B1， 在平面BCC1B1内过点N作NQ⊥B1C，垂足为Q，连接QA，则∠NQA即为二面角的平面角. ∵CA⊥BB1，CA⊥AB，BB1∩AB=B， ∴CA⊥平面ABB1， ∴CA⊥B1A， 又AB=BB1=1，得AB1=. ∵直线B1C与平面ABC所成的角为30°， ∴∠B1CB=30°， ∴B1C=2， 则Rt△B1AC中，由勾股定理得AC=. ∴AQ=1， 在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN=. ∴sin∠AQN==. ... ...