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课件网) 如 图 ，A 、B 表示两个仓库，要在A 、B一侧的河岸边建造一个码 头 ，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置 点P 是码头的位置 生活情境 第 十 章 三 角 形 的 有 关 证 明 10.4线段的垂直平分线 EN 1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理， 并会进行运用. 2.通过经历线段垂直平分线的性质定理的证明过程， 体验逻辑推理的数学方法。 学习目标 温故知新 定义：垂 直于一条线段，并且平分这条线段的直线， 叫做这条线段的垂直平分线。 符号语言： ∵/是线段AB的垂直平分线； ∴__ 二 工 由上可知：线段是轴对称图形，线段 的垂直平分线是它的对称轴. 线段的垂直平分线的性质是什么 B 典例精析 例1如图，在△ABC 中，AB=AC=20cm,DE 垂直平分AB, 垂足 为E, 交 AC 于D, 若 △DBC 的周长为35cm, 则BC 的长为( C ) A.5cm B.10cm C.15cm D.17.5cm 解析：∵△ DBC 的周长为BC+BD+CD=35cm, 又 ∵DE 垂直平分AB,∴AD=BD, 故 BC+AD+CD=35cm. ∵AC=AD+DC=20cm, ∴BC=35-20=15(cm). 故选C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转 化，从而求出未知线段的长. 练 一 练：1.如图①所示，直线CD 是线段AB的垂直平分线，点P 为直线CD 上的 一点，且PA=5, 则线段PB的长为( B ) 2.如图②所示，在△ABC 中 ，BC=8cm, 边AB 的垂直平分线交AB 于点D, 交 边 AC 于点E,△BCE 的周长等于18cm, 则AC 的长是10 cm . A.6 B.5 C.4 D.3 图② 线段垂直平分线的判定 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 逆 命 题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上， 它是真命题吗 你能证明吗 微课--线段垂直平分线的逆命题 发现线段垂直平分线性质的逆命题 想一想：如果PA=PB, 那么点P 是否在线段AB的垂直平分线上呢 记得要分点P 在线 段AB上及线段AB外 两种情况来讨论 (1)当点P 在线段AB上时， ∵PA=PB, ∴ 点P 为线段AB的中点， 显然此时点P 在线段AB的垂直平分线上； ( 2 ) 当 点P 在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB, ∴△PAB 是等腰三角形. 过顶点P 作PCLAB, 垂足为点C, ∴底边AB上的高PC 也是底边AB上的中线. 即PCLAB, 且AC=BC. ∴直线PC 是线段AB的垂直平分线， 此时点P 也在线段AB的垂直平分线上. 总结归纳 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 应用格式： ∵ PA=PB, ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上. 作 用 ：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 例 2 :已 知：如图△ABC 中 ，AB=AC,O 是△ABC 内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明：∵AB=AC, ∴A在线段BC的垂直平分线(到一条线段 两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直 平分线上) . 同理，点O 在线段BC的垂直平分线. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确 定一条直线). 利用三角形的全等证明 证明：延长AO交BC于点D, ∵AB=AC,AO=AO,OB=OC, ∴△ABO≌△ACO(SSS). ∴∠BAO=∠CAO, ∵AB=AC, ∴AOLBC. ∵OB=OC ,OD=OD , ∴Rt△DBO≌Rt△DCO(HL). . ∴.BD=CD. ∴直线AO垂直平分线段BC. 0. B4 C D A 线段的垂直平分线上的点到线 段的两个端点的距离相等 见垂直平分线，得线段相等 到线段的两个端点距离相等的 点在线段的垂直平分线上 课堂小结 线段的垂直 平分的性质 和判定 判断一个点是否在线段的垂直 平分线上 内容 作用 判定 性 质 作用 内容 2.已知线段AB, 在平面上找到三个点D 、E 、F, 使 DA=DB,EA=EB,FA=FB, 这样的点的组合共有 无数 _种 . 当堂练习 1. 如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是( A ) 垂直平分CD; 垂直平分AB; 与CD 互相垂直平分； 平分∠ ACB. A.AB B.CD C.AB D.C ... ...
