§2 任意角 2.1 角的概念推广 2.2 象限角及其表示 学习目标 1.了解任意角的概念,理解象限角的概念,提升数学抽象的核心素养. 2.掌握终边相同的角的含义、象限角及其表示,培养数学运算的核心素养. 知识探究 知识点1 角的概念推广 (1)角的定义: 平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB,形成角α.其中点O是角α的顶点,射线OA是角α的始边,射线OB是角α的终边. (2)角的分类: 类型 规定 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 如果一条射线没有作任何旋转,称它形成了一个零角 [思考1] 如果一个角的始边与终边重合,那么这个角一定是零角吗 提示:不一定,若角的终边未作任何旋转,则这个角是零角.若角的终边作了旋转,则这个角就不是零角. 知识点2 象限角及其表示 (1)象限角和轴线角:在平面直角坐标系中,角的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴.以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,这个角就不属于任何象限. (2)与角α终边相同的角:一般地,给定一个角α,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和. [思考2] 各象限角的集合是什么 轴线角的集合呢 提示:各象限角的表示如下表所示: 象限角 角的集合表示 第一 象限角 {α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z} 第二 象限角 {α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z} 第三 象限角 {α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z} 第四 象限角 {α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z} 轴线角的表示如下表所示: 轴线角 角的集合表示 终边在x轴上角的集合 {α|α=k·180°,k∈Z} 终边在y轴上角的集合 {α|α=90°+k·180°,k∈Z} 探究点一 角的概念推广 [例1] 经过2个小时,钟表的时针和分针旋转所形成的角分别是( ) A.60°角,720°角 B.-60°角,-720°角 C.-30°角,-360°角 D.-60°角,720°角 解析:钟表的时针和分针都是顺时针旋转的,因此转过的角度都是负的,又×360°=60°,2×360°=720°,故经过2个小时,钟表的时针和分针旋转所形成的角分别是-60°角,-720°角.故选B. 判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可. [针对训练] 写出图(1)(2)中的角α,β,γ的度数. 解:题图(1)中,α=360°-30°=330°; 题图(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°, γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°. 探究点二 象限角及其表示 角度1 终边相同的角 [例2] 已知角α=2 024°. (1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式; (2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°. 解:(1)由2 024°除以360°,得商为5,余数为224°, 所以取k=5,β=224°, 则α=5×360°+224°. (2)与2 024°角终边相同的角为k·360°+2 024°(k∈Z). 令-360°≤k·360°+2 024°<720°,k∈Z, 所以k可取-6,-5,-4.将k的值代入k·360°+2 024° 中,得角θ的值为-136°,224°,584°. 在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地,可以将所给的角α化成k·360°+β的形式(其中0°≤β<360°,k∈Z),β就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:当所给的角是负角时,采用连续加360°的方式;当所给的角是正角时,采用连续减360°的方式,直到所得结果达到所求为止. [针对训练] 与-66°终边相同的角是( ) A.34° B.104° C.214° D.294° 解析:与-66°终边相同的角可以写成-66°+360°·k的形式,其中k∈Z.令k=1可 ... ...
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