1.7　正切函数 学案 (原卷版+解析版)

§7　正切函数 7.1　正切函数的定义 7.2　正切函数的诱导公式 7.3　正切函数的图象与性质 学习目标 1.掌握正切函数的定义,提升数学抽象的核心素养. 2.理解并掌握正切函数的诱导公式,发展数学运算的核心素养. 3.掌握正切函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质,提升数学运算的核心素养. 知识探究 问题:在平面直角坐标系中,角α的终边与单位圆交于点P(a,b)(a≠0),那么比值与角α的正弦、余弦有什么关系 提示:由单位圆与正弦函数、余弦函数的定义可得sin α=b,cos α=a,因此=. 知识点1　正切函数的定义 比值是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan x,其中定义域为{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}. [思考1] 正弦函数、余弦函数的定义域是R,为什么正切函数的定义域是{x∈R|x≠+kπ,k∈Z} 提示:由于当cos x=0时,x=+kπ(k∈Z), 而tan x=,因此y=tan x中要求cos x≠0,所以正切函数的定义域为{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}. 知识点2　正切函数的诱导公式 角x 函数y=tan x 记忆口诀 kπ+x(k∈Z) tan x 函数名不变, 符号看象限 -x -tan x π-x -tan x x+ - -x [思考2] 能否仿照研究正弦函数、余弦函数的诱导公式时,使用角的终边的对称、旋转来研究正切函数的诱导公式 举例说明. 提示:能.设角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),根据正切函数的定义tan α=.如tan(π+α),由于π+α的终边与单位圆的交点与α的终边与单位圆的交点关于坐标原点对称,故π+α的终边与单位圆的交点为P′(-u,-v),所以tan(π+α)===tan α. 知识点3　正切函数的图象与性质 函数 y=tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单 调 性 递增区间 (k∈Z) 递减区间 无 对称中心 (,0)(k∈Z) [思考3] 能否说正切函数在整个定义域内是增函数 提示:不能.正切函数y=tan x在每段区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)上是增函数,但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数. 探究点一　正切函数的定义 [例1] (1)若sin θcos θ>0,<0,则角θ的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)角α的终边经过点P(-b,4)且cos α=-,则tan α=　　　　. [变式探究] 本例(2)的条件不变,求的值. (1)已知角α终边上的一点M(a,b)(a≠0),求该角的正切函数值,或者已知角α的正切值,求角α终边上一点的坐标,都应紧扣正切函数的定义求解,在解题过程中,应注意分子、分母的位置. (2)正切函数在各个象限内的符号:在第一、第三象限为正数,在第二、第四象限为负数. (3)形如(abcd≠0),与tan α有关的求值问题,可将分子、分母同时除以cos α后构造与 tan α 有关的式子求解. 探究点二　正切函数的诱导公式 [例2] 求下列各式的值. (1)tan(-); (2)tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin (-606°). 利用诱导公式求值的一般方法: 任意角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角的三角函数 [针对训练] (1)已知=2,则tan(α+)等于(　　) A.5 B.-5 C. D.- (2)tan(-)=　　　　　. 探究点三　正切函数的图象与性质 角度1　正切函数的图象 [例3] 图中的图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈(-,)内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是(　　) 　 a b 　 c d A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 解决图象识别问题的常用方法 (1)作图法:先作出相关函数的图象,再对照选项确定正确答案. (2)性质法:研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等),排除相关选项,从而确定正确答案. [针对训练] 函数y=tan(x-)在一个周期内的图象是(　　) 　　　 A B 　　　 C D 角度2　正切函数单调性的简单应用 [例4] 比较下列各组中正切函数值的大小. (1)tan 与tan ; (2)tan 2,tan 3,tan 4. 利用正切函数的单调性比较大小,角不在同一单调区间上的, ... ...