§4 平面向量基本定理及坐标表示 4.1 平面向量基本定理 学习目标 1.了解平面向量基本定理的含义和基的含义,提升数学运算及逻辑推理的核心素养. 2.能够借助平面向量基本定理,用基表示向量,发展直观想象与数学运算的核心素养. 知识探究 知识点 平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理. 如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. (2)基、正交基和标准正交基. 我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基,记为{e1,e2}.若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基. [思考1] 设e1,e2是平面向量的一组基,则e1,e2中可能有零向量吗 提示:由于零向量和任一向量共线,这不符合基中的向量特征,因此e1,e2中不能有零向量. [思考2] 平面向量的基唯一吗 提示:不唯一,平面内任意不共线的两个向量均可以作为基. [思考3] 如何理解平面向量基本定理中实数对的唯一性 提示:设e1,e2是平面向量的一组基,假设平面内的任意一个向量p有两种表示p=x1e1+y1e2,且p=x2e1+y2e2,则两式左右两边相减可得0=(x1-x2)·e1+(y1-y2)e2,由于e1,e2不共线,因此所以x1=x2,y1=y2,即平面向量基本定理中实数对是唯一的. 探究点一 基的理解 [例1](多选题)已知向量a=2e1-e2,b=e1+2e2,c=e1-e2,e1与e2不共线,则下面各组向量能构成基的是( ) A.a与b B.a与c C.a-b与c D.a+b与c 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 由基的定义可知,要判断两个向量a,b能否作为一组基,只需判断两向量是否共线,而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R,使a=λb成立.另外,作为基的向量必为非零向量. [针对训练] 设e1,e2是两个不共线的向量,则下列四组向量中,不能作为平面向量的一组基的是( ) A.e1+e2和e1-e2 B.e1+2e2和e2+2e1 C.3e1-2e2和4e2-6e1 D.e2和e2+e1 探究点二 用基表示向量 角度1 利用平面图形中的基表示向量 [例2] 如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基表示向量与. 用几何图形中的基表示向量的方法 用几何图形中的基表示向量主要是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算,因此求解时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量. [针对训练] 在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,E为CD的中点,AE与BD交于点F,若=a,=b,则等于( ) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 角度2 用已知向量表示未知向量问题 [例3] 设e1,e2是平面向量的一组基,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基a,b的线性组合,即e1+e2= . 用已知不共线的向量表示未知向量主要是找到已知向量与未知向量的关系,结合平面向量基本定理用方程的思想求出未知向量. [针对训练] 已知{e1,e2}是平面α内所有向量的一组基,且a=e1+e2, b=3e1-2e2,c=2e1+3e2,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ+μ= . 探究点三 共线(平行)向量基本定理、平 面向量基本定理的综合运用 [例4] 如图所示,在△ABC中,=a,=b,D,F分别为线段BC,AC上一点,且BD=2DC,CF=3FA,BF和AD相交于点E. (1)用向量a,b表示; (2)假设=λ+(1-λ)=μ,λ,μ∈R,用向量a,b表示,并求出实数μ的值. 选用基向量,根据向量加减法和数乘的运算法则,表示其他向量,特别是从不同的侧面表示同一个向量,利用平面向量基本定理中实数λ1,λ2的唯一性得出方程组,求解其中设定的参数值. [针对训练] 如图,在△ABC中,D是BC上一点,G是AD上一点,且==2,过点G作直线分别交AB,AC于点E,F. (1)用向量与表示; (2)若=,求和的值. 当堂检测 1.下列有关平面向量基本定理的四个命题错误的是( ) A.一个平面内有且只有一对 ... ...
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