1.2.1 平方差公式 【素养目标】 1.从代数、几何两个不同的角度理解平方差公式的推导过程. 2.掌握平方差公式的结构特征并能够运用平方差公式进行计算. 3.在公式的推导过程中鼓励探索和创新,培养创新意识和应用能力. 【重点】 运用平方差公式进行计算. 【自主预习】 计算下列各式: (x+1)(x-1)=x2 -1= ; (x+2)(x-2)=x2 -22= ; (x+3)(x-3)=x2 -32= ; (x+4)(x-4)=x2 -42= . 1.补全横线内容. 2.你发现什么规律 (提示:等号左边的两个因式有什么特点 最后的结果有什么特点 ) 3.请再举出一些例子,看一看你所发现的规律是否还存在. 【参考答案】1.-x+x x2-1 -2x+2x x2-4 -3x+3x x2-9 -4x+4x x2-16 2.等号左边都是两个数的和与这两个数的差的乘积,所得的结果是这两个数的平方差. 3.例如,(x+5)(x-5)=x2-5x+5x-52=x2-25(例子不唯一,正确即可),规律依然存在. 1.下列计算正确的是 ( ) A.a3-a2=a B.(a+1)(-a-1)=a2-1 C.(a3)2=a6 D.(a+1)(a-1)=a2+1 2.若x+y=5,x-y=6,则x2-y2的值为 ( ) A.1 B.11 C.30 D.35 【参考答案】1.C 2.C 【合作探究】 平方差公式 阅读课本本课时“例1”之前的内容,解决下列问题. 验证公式(代数角度): 1.若用x和y表示两个数,你能证明预学思考中发现的结论吗 请写出证明过程.证明中利用了什么运算法则 图解公式(几何角度): 2.(1)图1.2-1(1)中的剩余图形的面积可以表示为 . (2)图1.2-1(2)中拼成的长方形的面积可以表示为 . (3)比较两图中的图形的面积,用式子表示你得到的结果. 3.平方差公式:两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的 .可表示为 . 【参考答案】1.证明过程如下:(x+y)(x-y)=x2-xy+xy-y2=x2-y2.证明过程中运用了多项式乘法法则. 2.(1)a2-b2 (2)(a+b)(a-b) (3)两图中的图形的面积是相等的,可以表示为(a+b)(a-b)=a2-b2. 3.和 差 平方差 (x+y)(x-y)=x2-y2 1.计算(1+a)(1-a)所得的结果是 ( ) A.a2-1 B.1-a2 C.a2+1 D.1+a2 2.如下图所示的分割及拼接图形的方案中,可以验证的等式为 . 【参考答案】1.B 2.(a+b)(a-b)=a2-b2 运用平方差公式进行计算 阅读课本本课时“例1”至“例4”中的内容,解决下列问题. 1.计算“例1”第(1)题时,可以把 看成平方差公式中的x, 看成y,计算第(2)题时,可以把 看成平方差公式中的x, 看成y,计算“例2”时,可以把 看成平方差公式中的x, 看成y. 2.计算“例3”可将第 个括号内的式子调整顺序,转化为平方差公式的形式. 3.计算“例4”可以将1 002变为 ,将998变为 ,从而利用 简便运算. 4.对于满足平方差公式特征的多项式的乘法或有理数运算,可利用该公式进行 运算. 【参考答案】1.2x 1 x 2y -2x y 2.2 3.1 000+2 1 000-2 平方差公式 4.简便 3.如果计算(x+my)(x+ny)时能使用平方差公式,那么m,n应满足 ( ) A.m,n同号 B.m,n异号 C.m与n互为相反数 D.以上都不对 4.计算:99.5×100.5. 【参考答案】3.C 4.解:99.5×100.5=(100-0.5)×(100+0.5)=1002-0.52=10 000-0.25=9 999.75. 平方差公式的结构特征 例 在括号内填上怎样的代数式才能利用平方差公式进行计算 按照所填的式子进行计算. (1)(-2a+b) ; (2)(-a-b) . (1)(-2a-b)或(2a+b) (2)(-a+b)或(a-b) 【参考答案】解:(1)(-2a+b)(-2a-b)=(-2a)2-b2=4a2-b2或(-2a+b)(2a+b)=b2-(2a)2=b2-4a2. (2)(-a-b)(-a+b)=(-a)2-b2=a2-b2或(-a-b)(a-b)=(-b)2-a2=b2-a2. 变式训练 下列各式中,不能运用平方差公式计算的是 ,计算其他几个能够用平方差公式计算的式子. ①(ab-1)(ab+1);②(2x-1)(-1+2x);③(-2x-y)(2x-y);④(-a+5)(-a-5). 【参考答案】解:②;(ab-1)(ab+1)=a2b2-1;(-2x-y)(2x-y)=(-y-2x)(-y+2x)=y2-4x2; (-a+5)(-a-5)=a2-25. ... ...
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