专题 二次函数的运用（原卷版+解析版）

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学 专题 二次函数的运用 （2024·广东阳江·二模）某商店经营儿童益智玩具，成批购进后，将每件玩具的进价提高后作为售价，已知商店购进60套这种玩具，售完后盈利为600元． (1)设该玩具每件的进价为元和售价为元，求出和的值． (2)调查发现：在（1）的情况下，该玩具每件的售价为元时，月销售量为230件，而每件的售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件的售价不能高于40元．设每件玩具的售价上涨了元时，月销售利润为元． ①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． ②当每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月销售利润为多少？ 【答案】(1) (2)①；②每件玩具的售价定为36.5元时，月获得最大利润，最大的月利润是2722.5元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意可得，方程组，计算即可得解； （2）①依据题意，月销售利润，再结合售价不能高于40元，可得自变量的取值范围； ②依据题意，由①的结论整理得，进而结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）解：因该玩具每件的进价为元和售价为元， 由题意得， 解得， ∴； （2）解：①因为每件玩具的销售单价上涨了元时，月销售利润为元，由题意得： 与的函数关系式为：， 的取值范围为：； ②由①得： ，， 当时，有最大值为2722.5， 答：每件玩具的售价定为36.5元时，月获得最大利润，最大的月利润是2722.5元． （2024·广东东莞·三模）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 【答案】(1)AB的长为 (2)AB为时，花圃面积最大，花圃的最大面积为 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题． （1）根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意得到，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为； （2）解：花圃的面积， 而由题意：， 即， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时面积最大，最大面积为． 1. 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 2. 利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 1．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每 ... ...