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课件网) 2.1平均变化率与瞬时变化率 第二章 导数及其应用 北师大版（2019）选择性必修第二册 学习目标 理解平均变化率与瞬时变化率的概念 掌握平均变化率与瞬时变化率的求法 01 02 情境引入 中国研发的歼—20A战斗机的最大飞行速度是3 060 km/h. 据某气象台报道，某市在20日凌晨1:00-2:00 时降雨强度达72 mm/h；局部地区瞬间降雨强度达99 mm/h. “飞行速度”,“降雨强度”刻画的都是瞬时变化的情况,也是数学中导数概念的原型. 实例分析 实例1 物体从某一时刻开始运动，设 表示此物体经过时间 走过的路程，显然 是时间 的函数，表示为. 在运动的过程中测得了一些数据，见表2 - 1. 0 2 5 10 13 15 0 6 9 20 32 44 物体在 0 s 到2 s 和 10 s 到 13 s 这两段时间内，哪一段时间运动得快？如何刻画物体运动的快慢？ 实例分析 解 通常用平均速度(即路程相对于时间的平均变化率)来比较运动的快慢. 显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快. 0 2 5 10 13 15 0 6 9 20 32 44 在0 s 到2 s 这段时间内，物体的平均速度为 ； 在10 s到13 s这段时间内，物体的平均速度为 . 实例分析 实例2 某病人吃完退烧药，他的体温变化如图： 比较时间 x 从0 min到20 min和从 20 min到 30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 解 根据图象可以看出：在这两段时间下降了相同的温度，而后一段时间比前一段短，所以体温在20 min到30 min这段时间内，体温变化较快. 在0 min到20 min这段时间内，单位时间体温平均变化率为： ， 单位时间里，20 min到30 min这段时间平均变化率大，这段时间内的体温变化就快. 在20 min到30 min这段时间内，单位时间体温平均变化率为： ， 实例分析 实例1中，用一段时间内物体的平均速度刻画了物体运动的快慢，当时间从变为时，物体所走的路程从变为，这段时间内物体的 平均速度 实例2中，用一段时间内体温的平均变化率刻画了体温变化的快慢，当时间从变为时，体温从变为，这段时间内体温的 平均变化率 抽象概括 对一般的函数来说，当自变量x从变为时，函数值从变为，它在区间[，]的 通常我们把自变量的变化 称作自变量 x 的改变量，记作 Δ，函数值的变化称作函数值y的改变量，记作 Δ．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 用它来刻画函数值在区间[，]上变化的快慢. 情境引入 上面用平均速度刻画了物体在一段时间内运动的快慢. 在实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度.比如，我们看到汽车在行驶过程中不断变化的速度表，每个时刻指针指向的数字就是汽车在该时刻的瞬时速度. 如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系呢？ 实例分析 实例1 一个小球从高空自由下落，其下落的高度 h(单位:m)与时间 t (单位:s)的函数关系为 ，其中，g 为重力加速度(g取9. 8 m/s2).估算小球在 这个时刻的瞬时速度. 分析 当时间 从 变到 时，根据平均速度公式 可以求出从 5 s 到 6 s 这段时间内小球的平均速度 有时用它来近似表示小球在s这个时刻的瞬时速度. 实例分析 实例1 一个小球从高空自由下落，其下落的高度 h(单位:m)与时间 t (单位:s)的函数关系为 ，其中，g 为重力加速度(g取9. 8 m/s2).估算小球在 这个时刻的瞬时速度. 为了提高精度，可以缩短时间间隔，如求出 5 s 到 5.1 s 这段时间内的平均速度 用它来近似表示小球在 t＝5 s 这个时刻的瞬时速度，这样更接近实际情况. 如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在 t＝5 s 这个时刻的瞬时速度. 实例分析 解 将时间间隔每次缩短为上次的 ，计算出相应的平均速度，得到下表. 可以看出，当时间 趋于 s 时，平均速度趋于 49 ，因 ... ...
