一、函数的定义域 1.函数的定义域是指函数y=f(x)中自变量x的取值范围.实际问题确定的函数的定义域要考虑让实际问题有意义. 2.考查函数的定义域的问题，主要是考查逻辑思维能力、综合分析能力和计算能力. 例1 (1)函数f(x)=+(3x-1)0的定义域是 ( ) A. B. C. D.∪ (2)已知函数y=f(x+1)的定义域是［-2，3］，则y=f(2x-1)的定义域是 ( ) A. B.［-1，4］ C.［-5，5］ D.［-3，7］ 反思感悟 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑使解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义. (3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为［a，b］，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f(g(x))的定义域为［a，b］，则f(x)的定义域为g(x)在［a，b］上的值域. 跟踪训练1 (1)函数f(x)=+的定义域是 ( ) A.［-1，+∞) B.(-∞，-1］ C.R D.［-1，1)∪(1，+∞) (2)设函数f(x)的定义域为［1，5］，则函数f(2x-3)的定义域为 ( ) A.［2，4］ B.［3，11］ C.［3，7］ D.［1，5］ 二、函数的解析式 1.函数的解析式实际上就是函数的对应法则的数学表示，求函数的解析式一般采用的是换元法、拼凑法、待定系数法、解方程组法等，特别是在分段函数中还要结合函数的奇偶性. 2.求函数的解析式往往考查的是分析能力和逻辑思维能力，以提高逻辑思维和数学运算的素养为主要目的. 例2 (1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)=+1，则f(x)的解析式为 . (2)已知f=+，则f(x)的解析式为 . 反思感悟 求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法. (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法. (3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f，使用解方程组法. (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法. 跟踪训练2 (1)已知二次函数f(x)满足f(0)=1，f(1)=2，f(2)=5，则该二次函数的解析式为 . (2)若3f(x-1)+2f(1-x)=2x，则f(x)的解析式为 . 三、函数的单调性和奇偶性 1.利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是考试重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响. 2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 例3 已知函数f(x)=. (1)判断f(x)的奇偶性； (2)当x∈(1，+∞)时，判断f(x)的单调性并证明； (3)在(2)的条件下，若实数m满足f(3m)>f(5-2m)，求m的取值范围. 反思感悟 函数的单调性和奇偶性 (1)注意函数单调性的定义及其等价形式，如函数在区间I上单调递增： x1，x2∈I，(x1-x2)·［f(x1)-f(x2)］>0，>0等. (2)函数的奇偶性的主要用途是实现函数值f(a)，f(-a)的转化，注意其图象的对称性的应用. 跟踪训练3 已知函数f(x)=是奇函数，且f(2)=. (1)求实数m和n的值； (2)求函数f(x)在区间［-2，-1］上的最值. 四、函数图象的画法及应用 1.利用函数的图象可以直观地观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数等. 2.掌握简单的基本函数图象，提升直观想象素养. 例4 已知奇函数f(x)= (1)求实数m的值； (2)画出函数的图象； (3)若函数f(x)在区间［-1，|a|-2］上单调递增，试确定a的取值范围. 反思感悟 画函数图象的主要方法是描点法，要先研究函数性质再画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果. 跟踪训练4 (1)已知函数f(x)=方程f2(x)-bf(x)=0，b∈(0，1)，则方程的根的个数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)对于实数a和b,定义运算“ ”:a b=设函数f(x)=(x2-2) (x-1),x∈R ... ...
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