第1章直角三角形 专题训练 （含答案）2024-2025学年数学湘教版八年级下册

专题训练一　方程思想在勾股定理中的应用 　类型1　单勾股列方程 模型 展示 （8－x）2＋62＝x2 方法 指导 勾股定理是等式，方程也是等式，我们在求直角三角形中的线段长度问题时，可以设某条线段为未知数，将直角三角形的三条线段用含有未知数的代数式和具体的数值表示出来，结合勾股定理建立方程，从而解决线段的长度问题 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长. 解：连接AE. ∵DE为AB的垂直平分线， ∴AE＝BE. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝4. 设CE＝x，则BE＝AE＝4－x. 在Rt△ACE中，由勾股定理，得x2＋32＝（4－x）2，解得x＝. ∴CE的长为. @针对训练 @ 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，则CD的长是（　C　） A.　　　B. C.3　　　D.5 2.已知等腰△ABC的底边BC＝5，D是腰AB上一点，且CD＝4，BD＝3，则AD的长为　　. 第2题图 3.如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为　4　. 第3题图 4.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝CD＝5，BC＝AD＝3. （1）如图1，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D'处，求BF的长； 图1 解：∵将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D'处，∴AF＝CF. 设BF＝x，则AF＝CF＝AB－BF＝5－x， 在Rt△BFC中，∵BF2＋BC2＝FC2， ∴x2＋32＝（5－x）2，解得x＝. ∴BF＝.\ （2）如图2，将△ABD沿BD翻折至△A'BD，若A'B交CD于点E，则此时CE的长为　　. 图1　　图2 　类型2　双勾股列方程 模型 展示 　　　　　　　　　　　　　 52－x2＝72－（8－x）2 　72－x2＝82－（3＋x）2 方法 指导 两个直角三角形共用一条直角边，形成连环勾股定理. 常见辅助线：作三角形的高 【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝6，BC＝7，AC＝5，求AD的长. 解：设BD＝x，则CD＝7－x. 在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝62－x2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝52－（7－x）2， ∴62－x2＝52－（7－x）2，解得x＝. ∴AD＝＝＝. 【变式】如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝13，AB＝15，求三角形ABC的面积. 解：过点A作AD⊥BC于点D.设CD＝x，则BD＝4＋x. 在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝152－（4＋x）2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝132－x2， ∴152－（4＋x）2＝132－x2，解得x＝5. ∴AD＝＝＝12. ∴S△ABC＝BC·AD＝×4×12＝24. @针对训练 5.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（　D　） A.29 B.32 C.36 D.45 6.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CE是斜边AB上的中线，CD是斜边AB上的高，则DE的长是　　. 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：AB2－AD2＝BD·DC. 证明：作AE⊥BC于E， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE. ∵AB2＝AE2＋BE2， AD2＝AE2＋DE2， ∴AB2－AD2＝BE2－DE2＝（BE＋DE）·（BE－DE）＝BD·（CE－DE）＝BD·DC， 即AB2－AD2＝BD·DC. 专题训练二　利用勾股定理解决路径最短问题 　类型1　平面内最短路径问题 　　 1.如图，某高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA'＝2km，BB'＝4km，且A'B'＝8km.要在高速公路上的A'，B'之间建一个出口P，使A，B两城镇到出口P的距离之和最短，最短距离为　10　km. 　类型2　立体图形中的最短路径问题 圆柱 则AB2＝B'A2＋B'B2 长方体 甲 乙丙 阶梯 问题 　　 基本 思路 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解 2.如图，有一个圆柱，它的高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱的下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点B处的食物，需要爬行的最 ... ...