3.4向量在立体几何中的应用--2024-2025学年高中数学北师大版选修一课时优化训练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 向量在立体几何中的应用--2024-2025学年高中数学北师大版选修一课时优化训练 一、选择题 1．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线l的一个法向量为，则直线l的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为( ) A. B. C. D. 2．已知直线方程的一个方向向量可以是( ) A. B. C. D. 3．在直三棱柱中,,,E为的中点,则与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 4．直线的方向向量可以是( ) A. B. C. D. 5．如图，在正方体中，点P是线段上的动点（含端点），点Q是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是( ) A. B. C. D. 6．如图，圆锥的底面圆周上有A，B，C三点，为底面圆O的直径，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 7．如图，平面ABCD，，，，，点M为BQ的中点，若，则N到平面CPM的距离为( ) A. B. C. D. 8．在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．在三棱柱中,D为的中点,,平面,,则下列结论错误的是( ) A.平面平面 B.平面平面 C.平面 D. 10．已知向量，分别为两个不同的平面，的法向量，为直线l的方向向量，且，则( ) A. B. C. D. 11．已知棱长为3的正四面体，，，，，则下列选项正确的是( ) A.当时， B.当时， C.当时，的最大值为 D.当时，则的最大值为 三、填空题 12．如图,在中,,过中点的动直线l与线段交于点N,将沿直线l向上翻折至,使得点在平面内的射影H落在线段上,则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为_____. 13．若在空间直角坐标系中，点，平面的一个法向量，则直线与平面所成角的大小为_____. 14．若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于_____. 四、解答题 15．如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是直角三角形，，点E、F分别在、上，且，，. (1)若平面，求； (2)若，求二面角的余弦值. 16．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点，且. (1)求； (2)求二面角的正弦值 17．如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面； 18．如图所示,已知平面,四边形为矩形,,,分别为,的中点.求证: （1）平面; （2）平面平面. 19．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M、N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. (1)证明：平面； (2)当a为何值时，的长最小并求出最小值； (3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 参考答案 1．答案：B 解析：根据题意可得， 化简得， 故选：B 2．答案：D 解析：因为直线方程 可化为，其斜率为2， 所以该直线的一个方向向量为. 故选：D. 3．答案：C 解析：以为原点,以,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示： ,则,,,, 所以,, 所以, 故与所成角的余弦值为． 故选：C. 4．答案：D 解析：的方向向量是与向量共线的向量,故D符合, 故选:D 5．答案：A 解析：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系， 设，，不妨设， 则，，，， 故， ， 设平面的法向量为， 则， 可取， 则 ， 所以 ， 当时，， 当时， ， 当，即时，， 综上所述，的最小值是. 故选：A. 6．答案：B 解析：建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 所以，. 设平面PBC的法向量为，则，即， 令，则.设直线和平面所成角为， 又，所以. 故选B. 7．答案：B 解析：因为平面，， 易知AD，CD，PD两两垂直， 以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的 正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意得，，，. 所以，，， 设为平面CPM的法向量 ... ...