2025年九年级中考数学二轮复习专题：二次函数中等腰三角形存在性问题（含详解）

2025年九年级中考数学二轮复习专题：二次函数中等腰三角形存在性问题 1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标； （3）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（﹣3，2），与y轴交于点B，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，x轴上一点N，使得△DNF是等腰直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）与点C（0，3）． （1）求抛物线对应的函数解析式，并写出抛物线与x轴的交点B的坐标； （2）点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，直线PQ交x轴于点M，连接CQ，OP，如果S△CPQ＝2S△OPM，求PM的长； （3）探究抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得以点E，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝4ax﹣12a经过点B、点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P在第二象限的抛物线上，PE∥AB交线段BC于点E，设点P的横坐标为t，PE的长为d，求d与t的函数关系式；（直接写出t的取值范围） （3）在（2）的条件下，连接OP，点Q在线段OB上，过点Q作QF∥OP交PE于点F，过点Q作QD⊥OB，QD交BC于点D，连接CF、FD，当△FCD为CF为腰的等腰直角三角形时，求点D的坐标． 5．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴相交于点C． （1）求二次函数的表达式和线段BC的长； （2）在抛物线对称轴上找一点P，使△PBC为等腰三角形？直接写出点P的坐标． 6．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）运动过程中是否存在点P，使线段PQ的值最大？若存在，请求出这个最大值并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在点P的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明． 7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值； （3）如图2，点P是x轴上动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于点F、G．设点P的横坐标为m，是否存在点P，使△FCG是以FG为腰的等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）求△BCP的面积最大值； （3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，该抛物线与 ... ...