2.1.1 平方根与算术平方根 教案

中小学教育资源及组卷应用平台 2.1.1 平方根与算术平方根 ———新授课 一、教材分析 本节主要学习平方根与算术平方根的概念，涉及非负数开平方的运算规则及其应用。算术平方根是平方根的特殊形式（仅取非负根），两者共同构成后续学习二次根式、方程及函数的基础。且本节内容位于“实数”章节的起始部分，是衔接有理数与无理数的重要纽带，为后续学习根式运算、勾股定理等提供理论支撑。 二、学情分析 1.知识储备：已掌握平方运算，但对逆向运算（开平方）的理解较薄弱，易混淆“平方根”与“算术平方根”的概念。对非负数范围的认知不足，可能误认为负数存在平方根。 2.能力水平：具备初步的代数运算能力，但符号处理易出错。且抽象思维能力较弱，需借助具体实例理解抽象概念。 3.学习心理：对公式记忆和符号运算存在畏难情绪，需通过生活化情境激发兴趣，且需要教师通过分层练习和直观化教学逐步建立信心。 三、教学目标 1.理解平方根与算术平方根的概念，明确两者的区别与联系。 2.掌握算术平方根的符号表示（）及非负性（a≥0，≥0）。 3.能正确求出一个非负数的算术平方根及平方根，并解决简单实际问题。 4.经历从具体实例（如正方形面积）到抽象概念的归纳过程，培养观察与概括能力。 5.感受数学符号的简洁性与逻辑美，激发探索兴趣。 四、重点难点 重点:平方根与算术平方根的定义及其符号化表达。 难点:平方根的双值性与算术平方根的单值性。 五、教学方法 讲授法、练习法、问答法 六、教学过程 一、问题导入 【问题】小明将一个长为2、宽为1的长方形纸片，按图所示方法剪拼成了一个正方形.观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？ 正方形的面积是2，边长的平方是2. 问题：你知道边长怎么表示吗？ 这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数. 二、探究新知 【抽象】如果有一个数r，使得r2=a，那么r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根. 若r2=a，则r是a的一个平方根. 例如，由于22=4，因此2是4的一个平方根. 又因为(-2)2=4，所以-2也是4的一个平方根. 【探究】4的平方根除了2和-2以外，还有其他的数吗？ ∵边长大于2的正方形的面积一定大于4， ∴比2大的数都不是4的平方根. ∵边长小于2的正方形的面积一定小于4， ∴比2小的正数都不是4的平方根. 又∵(-b)2=b2 ∴大于-2或小于-2的负数都不是4的平方根. 又∵0显然不是4的平方根. ∴4的平方根有且只有两个：2与-2. 【定义】如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r. 正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”； 正数a的负平方根记作，读作“负根号a”. 这样，正数a的两个平方根可以用“±”来表示，读作“正、负根号a”. 注意：1.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数 . 一个正数只有一个算术平方根. 2.算术平方根具有双重非负性： ①根号内的数a是非负数，即a≥0. ②算术平方根是非负数，即 ≥0. 【思考】0的平方根是多少？负数有平方根吗？ ∵02= 0, 又∵非零数的平方不等于0， ∴0的平方根就是0本身. ∵同号两数相乘得正数，且02= 0， ∴不存在一个数的平方是负数， ∴负数没有平方根. 0的平方根也叫作0的算术平方根，记作0，即02=0. 【牛刀小试】判断下列语句是否正确： 1.3是9的平方根； 2.9的平方根是3； 3.4是-16的平方根； 4.0的平方根是0； 5.算术平方根等于本身的数只有0. 注意：1.0的平方根就是0本身。 2.负数没有平方根。 3.算术平方根等于本身的数只有0和1。 【定义】求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 这个非负数叫作被开方数. 开平方与平方互为逆运算. 二、例题探究 例1 分别求下列各数的平方根：(1)36; (2) ； (3)1.21. 解：(1)由于(±6)2=36，因此36的平方根是6与-6 ... ...