1.4 二次函数与一元二次方程的联系 课件(共26张PPT) 2024-2025学年湘教版初中数学九年级下册

(课件网) 第1章 二次函数 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系. 2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系. 3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根. 4.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题. 学习目标 我们学习了一元一次方程kx+b=0（k≠0）和一次函数y=kx+b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系如下： 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）和二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它们之间存在怎样的关系呢？ 当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0．一次函数kx+b=0（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解． 画二次函数y=x2-2x-3的图象，回答下列问题： 问题1：如图，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？ 二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标分别是（-1，0），（3，0）． 观察图象与x轴的交点坐标，当x=-1时，y=___，即_____，也就是说x=-1是一元二次方程_____的一个根．同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说_____是一元二次方程_____的一个根． 问题2：二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系呢？ 0 x2-2x-3=0 x2-2x-3=0 x=3 x2-2x-3=0 结论：方程x2-2x-3=0的解就是抛物线y=x2-2x-3与x轴的两个交点的横坐标．因此，抛物线与一元二次方程之间是有密切联系的． 即：若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个不同交点，坐标分别是A(x1，0），B（x2，0），则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根分别是x=x1、x=x2． 观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象，分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+2=0的根的情况． （1）抛物线y=x2-6x+9的图象与x轴有_____交点，它们的横坐标是_____，此时函数值为0，所以而一元二次方程x2-6x+9=0的根是_____． （2）抛物线y=x2-2x+2的图象与x轴_____交点，所以一元二次方程x2-2x+2=0_____实根． y=x2-6x+9 y=x2-2x+2 一个 3 x1=x2=3 没有 没有 在坐标系中画出二次函数y=x2-2x-3的图象，说出一元二次方程x2-2x-3=0的根的情况． 抛物线y=x2-2x-3的图象与x轴有_____交点，它们的坐标分别是_____，此时函数值为0，所以而一元二次方程x2-2x-3=0的根是_____． 两个 （-1，0），（3，0） x1=-1，x2=3 y=x2-2x-3 观察以上三个函数的图像，说一说一元二次方程的根与二次函数与x轴交点有什么关系？ y=x2-6x+9 y=x2-2x+2 y=x2-2x-3 一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系： 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的个数 判别式△=b2-4ac的符号 方程ax2+bx+c=0有实数根的个数 函数的图象 2个 1个 没有 △>0 △=0 △<0 两个不相等实根 两个相等实根 没有实根 求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数与x轴交点的横坐标．因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根．由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的． 例1 求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值（精确到0.1）． 一元二次方程x2-2x-1=0的根就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标．因此我们可以先画出这条抛物线，然的从图象上找出它与x轴的交点的横坐标．这种解一元二次方程的方法叫作图象法． 解 设二次函数y=x2-2x-1．作出二次y=x2-2x-1的图象，如图． 可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间，另一个交点在2和3之间． 通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4，x2≈2.4． 方法一： 借助计算器也可以来分析所求方程的实数根．其方法是将二次函数y=x2-2x-1在-1至0 ... ...