(课件网) 第1章 三角形的证明 3 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质定理及其判定定理 导入新课 如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？ 分析：线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成， A B 探究新知 探究 【线段垂直平分线的性质】 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点． 求证：PA＝PB. 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°. ∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌△PCB(SAS)， ∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)． A B C M N P 归纳总结 定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 想一想 探究新知 探究 【线段垂直平分线的判定】 已知：如图，线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上． 证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC，垂足为C. ∵PA＝PB，PC＝PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)， ∴AC＝BC， 即点P在AB的垂直平分线上． C A B P 证法二：取AB的中点C，过点P，C作直线． C A B P ∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝BC， ∴△APC≌△BPC(SSS)， ∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°， 即PC⊥AB， ∴点P在AB的垂直平分线上． 应用举例 例1 A B C O 【分析】线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用． 证明：∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)． 同理，点O在线段BC的垂直平分线上， ∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)． 如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点， 且OB＝OC.求证：直线AO垂直平分线段BC. 例2 【分析】由AD＝ AB，AB＝AC和AD＋AC＝24 cm，可求出AD＝BD＝8 cm，AC＝16 cm.由BD＋BC＝20 cm得BC＝12 cm，由DE垂直平分AB得EA＝EB，所以BE＋EC＝AC，由此即可求出△BEC的周长． A D E B C 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若AD＋AC＝24 cm，BD＋BC＝20 cm，求△BEC的周长． ∴AD＝BD＝ AB. ∵AB＝AC， ∵AD＋AC＝24 cm， A D E B C 解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝ AC. ∴AD＝BD＝8 cm，AC＝16 cm. ∵BD＋BC＝20 cm， ∵DE垂直平分线段AB， ∴BC＝12 cm. ∴EA＝EB， ∴BE＋EC＋BC＝AC＋BC＝16＋12＝28(cm). 即△BEC的周长为28 cm. 随堂练习 1．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( ) A．AB＝AD B．CA平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC A B E C D C 2．如图，AD是线段BC的垂直平分线，AB＝5， BD＝4，则AC＝____，CD＝____，AD＝____． A D B C 5 4 3 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，DE为AB的垂直平分线，则∠1＝_____，∠C＝_____，∠3＝_____，∠2＝_____；若△ABC的周长为16 cm，BC＝4 cm，则AC＝_____cm，△BCE的周长为_____cm. 1 2 3 A B C D E 40° 70° 30° 80° 6 10 课堂小结 线段的垂直平分的性质和判定 性质 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容: 判定 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用: 见垂直平分 ... ...
