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课件网) 10.3 乘法公式 第10章 整式的乘法与除法 知识点 平方差公式 知1－讲 1 1. 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2。 即两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。 a，b可以是数，也可以是代数式 ~~~~~~~~~~~~~ 知1－讲 2. 平方差公式的推导 (1)用多项式乘法推导平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2。 (2)借助几何图形推导平方差公式：利用图形分割补拼后面积不变进行验证。 如图10. 3-1 ① 是长为a+b，宽为a-b 的长方形(a>b>0)，其面积为(a+b)(a-b). 从中剪去一个长为a-b，宽为b 的小长方形，然后把长方形Ⅰ、Ⅱ拼接成如图10. 3-1 ②所示的图形，其面积可表示为a2-b2。从而得到(a+b)(a-b)=a2-b2。 知1－讲 特别解读 1. 公式的特征： (1)等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 (2)等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。 2. 平方差公式两种常见变化： (1) 位置变化：(b+a)(-b+a)=a2-b2； (2)符号变化：(-a-b)·(a-b)=(-b)2-a2=b2-a2。 例 1 解题秘方：先确定公式中的“a”和“b”，然后根据平方差公式“(a+b)(a-b)=a2-b2”进行计算。 知1－练 知1－练 方法点拨 利用平方差公式时，要紧扣平方差公式的结构特征，把两个多项式各自分成两部分，其中一部分完全相同，另一部分互为相反数。 解：(1)(5m- 3n)(5 m+3n) =(5m)2-(3n)2 = 25m2-9n2。 (2)(- 2a2+5b)(- 2a2- 5b) =(- 2a2)2-(5b)2 = 4a4- 25b2。 知1－练 知1－练 ~~~~~~~~~~~ 知1－练 警示误区 利用平方差公式运算时，要用相同项的平方减去相反项的平方，特别要注意平方运算时系数也要平方，不可漏掉。 计算： (1)10. 3×9. 7； (2)2 024×2 026-2 0252。 例 2 解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算。 知1－练 解：(1)1 0. 3×9. 7 =(10 +0. 3)(10 -0. 3) =102-0. 3 2 =100-0. 09=99. 9 1 。 知1－练 (2)2 024×2 026-2 0252 =(2 025-1)(2 025+1)-2 0252 =2025 2-1- 2025 2 = -1。 知1－练 方法点拨 运用平方差公式计算两数的乘积时，要先找到这两个数的平均数，再将原数与这个平均数进行比较，把原式变成两数的和与差的积的形式。 知2－讲 知识点 完全平方公式 2 1. 完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。 即两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和加上(减去)它们乘积的2 倍。 知2－讲 2. 完全平方公式的推导 (1)用多项式乘法推导完全平方公式： (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2， (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。 (2)借助几何图形推导完全平方公式：利用将几何图形面积分割成几个图形的面积和(或差)后面积不变进行验证。 知2－讲 如图10. 3-2 ①，边长是(a+b)的正方形的面积是(a+b)2，它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2。所以(a+b)2=a2+2ab+b2。 图10. 3-2 知2－讲 如图10. 3-2 ②，边长是(a-b)的正方形的面积是(a-b)2，它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即a2-ab-b(a-b)=a2-2ab+b2。所以(a-b)2=a2-2ab+b2。 3. 乘法公式：完全平方公式与平方差 公式都叫作乘法公式。 图10. 3-2 知2－讲 特别解读 1. 完全平方公式的特征：公式的左边是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，它包括左边二项式的各项的平方和，另一项是左边两项的乘积的2 倍。 2. 理解字母a，b 的意义：公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式。 3. 口诀记忆：头平方和尾平方，头(乘)尾两倍在中央，中间符号照原样。 例 3 计算： (1)(x+7y)2； (2)(-4a+5b)2； (3)(-2m-n)2； (4)(2x+3y ... ...
