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课件网) 第二课时 等比数列的性质 第五章 数列 5.3 等比数列 5.3.1 等比数列 课标要求 1.由等比数列的通项公式推导等比数列的性质，并会应用性质简化运算. 2.理解等比中项的概念，并会应用. 知识探究 题型剖析 课时精练 内容索引 知识探究 1.思考 我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 一、等比中项 2.填空 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的_____.即G2＝____. xy 等比中项 温馨提示 (1)若G2＝xy，则x，G，y不一定成等比数列.当x＝G＝y＝0，满足G2＝xy，但x，G，y不成等比数列. (2)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. (3)如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列一定是等比数列. 3.做一做 45和80的等比中项为_____. －60或60 设45和80的等比中项为G， 则G2＝45×80，∴G＝±60. 1.思考 我们知道，如果数列{an}为等差数列，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.类比等差数列，若数列{an}为等比数列，则有什么类似的结论？ 提示 如果数列{an}为等比数列，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an. 二、等比数列的性质 ap·aq am，an，ap ap·aq a2·an－1 温馨提示 性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz.该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. 3.做一做 在等比数列{ an }中，an>0，且a1·a10＝27，则log3a2＋log3a9＝ A.9 B.6 C.3 D. 2 √ 因为a2a9＝a1a10＝27，log3a2＋log3a9＝log327＝3. 题型剖析 题型一 等比中项及应用 例1 思维升华 (1)首项a1和公比q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法. (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项. 训练1 √ (2)在等比数列{an}中，a1＝1，公比为2，则a2与a8的等比中项为_____. ±16 ∵数列{an}是等比数列， 而且a1＝1，q＝2， ∴a2＝a1q＝2，a8＝a1q7＝27＝128， 设a2与a8的等比中项为M， 题型二 等比数列性质的应用 例2 已知数列{an}为等比数列. (1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10. (1)在例2(1)中，添加条件a1a7＝4，求an. (2)把例2(2)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 迁移 (1)由等比数列的性质得a1a7＝a3a5＝4， 又由例2(1)知a3＋a5＝5，解得a3＝1，a5＝4或a3＝4，a5＝1， 若a3＝1，a5＝4，则q＝2，an＝2n－3； (2)a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)· q100(a1a2a3…a10)·q200(a1a2a3…a10)＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300， 即a1a2a3…a10＝1，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0. 思维升华 利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题； (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量. (1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值. (2)已知数列{an}成等比数列.若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值. 训练2 (1)在等比数列{an}中，∵a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得a3·a7＝64且a3＋a7＝20. ∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3. ∴a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4.∴a11＝a7·q4＝16×4＝64. 题型三 等比数列中项的设法 例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是 ... ...
