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课件网) 第二章 二次函数 2.4.1二次函数的应用1 北师大版 数学 九年级 下册 学习目标 1.经历计算最大面积问题的探究，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值. 2.能够分析和表示实际问题中变量间的函数关系，并运用二次函数知识解决实际问题的最值，增强解决问题的能力. 情景导入 想一想：如何求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值？ 由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 当自变量的取值范围是全体实数时， (1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值； a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值． 情景导入 当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时， (1)若 在自变量的取值范围x1≤x≤x2内， 最大值与最小值同时存在， 如图①，当a＞0时， 最小值在x＝ 处取得， 最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的较大的函数值； 当a＜0时，最大值在x＝ 处取得， 最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值； 情景导入 (2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和最小值同时存在，且函数 在x＝x1，x＝x2时的函数值 中，较大的为最大值，较 小的为最小值，如图②. 同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌,大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多 思考:现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老总满意的广告牌 情景导入 核心知识点一： 几何图形面积的最大面积 例1：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上. (1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？ F E A C D 40m 30m B 思考：△CBF与△EAF有什么关系？有何启发？ 探索新知 解: (1)∵AB=x,则BF=40-x. ∵BC∥AD, ∴△BCF∽△AEF. 即 F E A C D 40m 30m B x 40-x 探索新知 (2)设矩形的面积为ym ，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ F E A C D 40m 30m B x 40-x 解: (2)由面积公式易得： 即 所以，当x=20时，y的值最大，最大为300. 即当AB=20cm时，矩形最大为300cm . 探索新知 变式：在上面的问题中，把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？ 思考：类比原题的方法，能否利用相似表示AD？ A C D 40m 30m B O E F 探索新知 A C D 40m 30m B ∟ ∟ M N O E F 解：过点O作OM⊥EF交于AD与点N，由勾股定理易得EF=50cm，由等积法可得OM=24， 设AB=x，则MN=AB=x，易得ON=24-x， 由△AOD∽△FOE，得 即 ， 易得 所以当AB=12cm时，矩形最大为300cm . 探索新知 例2：某建筑物的窗户如下图,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少 x y x 探索新知 x y x 解： 探索新知 设窗户的面积是Sm ，则 ∴当 时， 因此当x约为1.07时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m . 探索新知 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8米， 宽是2米，抛物线可以用 表示. (1)一辆货运卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗？ (2)如果该隧道内设双向车道，那么这辆货运 卡车是否可以通过？ 2 4 -2 -4 o 3 x y 探索新知 2 4 -2 -4 o 3 x y 解：(1)把y=4-2=2代入 得： 解得 ，则此时可通过货运卡车宽度为 米， 所以高4米，宽2米的卡车能通过该隧道. (2)由(1)得当y=2时， , 因为 ，所以能通过. 探索新知 归纳总结 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2 ... ...
