7.4勾股定理的逆定理 分层训练（含答案） 2024-2025学年数学青岛版八年级下册

　勾股定理的逆定理 【A层 基础夯实】 知识点1　勾股定理的逆定理 1.满足下列关系的三条线段a,b,c组成的三角形一定是直角三角形的是(D) A.ab-c C.a=b=c D.a2=b2-c2 2.以下列各组数为边长的三角形中,是直角三角形的是(B) A.2,3,4 B.3,4,5 C.5,12,16 D.6,8,12 3.(2024·潍坊期末)下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是(B) A.AB2+BC2=AC2 B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 C.∠A+∠B=∠C D.AB=1,BC=,AC= 4.(2024·菏泽质检)如图,△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中,顶点都在格点上,下列结论不正确的是(D) A.BC=5 B.△ABC的面积为5 C.∠A=90° D.点A到BC的距离为 知识点2　勾股数 5.(2024·聊城期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一,它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中,是“勾股数”的是(D) A.2,3,4　 B.4,5,6 C.7,8,9　 D.6,8,10 6.下列几组数中,是勾股数的有(B) ①0.6,0.8,1;　②7,24,25; ③10,24,26;　④,,. A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 知识点3　勾股定理逆定理的应用 7.如图,某小区有一块四边形空地ABCD,为了美化小区环境,现计划在空地上铺上草坪,其中∠B=90°,AB=3 m,BC=4 m,CD=12 m,AD=13 m. (1)连接AC,则AC=　5　m. (2)这块草坪的面积为　36　m2. 8.如图,这是某推车的简化结构示意图.现测得BC=2 dm,CD=8 dm,AD= 16 dm,AB=18 dm,其中AD与BD之间由一个固定为90°的零件连接 (即∠ADB=90°),按照设计要求需满足BC⊥CD,请判断该推车是否符合设计要求,并说明理由. 【解析】该推车符合设计要求,理由如下: ∵∠ADB=90°,AD=16 dm,AB=18 dm, ∴BD== =2(dm), ∵BC=2 dm,CD=8 dm, ∴BC2+CD2=68=BD2, ∴△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°, ∴BC⊥CD, ∴该推车符合设计要求. 【B层 能力进阶】 9.(2024·聊城模拟)五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,下列示意图中正确的是(C) 10.如图,小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ACB的度数是(B) A.30° B.45° C.60° D.90° 11.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=1,AD=3,若∠B=90°,则∠BCD的度数为　135°　. 12.△ABC的三边长为a,b,c满足|a+b-50|++(c-40)2=0.试判断△ABC的形状是　直角三角形　. 13.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a,b,c的方程,满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常被称为勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…分析上面规律,第5个勾股数组为　(11,60,61)　. 14.(2024·潍坊质检)如图,在△ABC中,AB边上的垂直平分线DE与AB,AC分别交于点D,E,且CB2=AE2-CE2. (1)求证:∠C=90°; 【解析】(1)连接BE, ∵AB边上的垂直平分线为DE,∴AE=BE, ∵CB2=AE2-CE2, ∴CB2=BE2-CE2, ∴CB2+CE2=BE2,∴∠C=90°; (2)若AC=15,BC=9,求CE的长. 【解析】(2)∵AC=AE+EC=15,AE=BE, ∴CE+BE=15, 设CE=x,则BE=15-x, ∵CE2+CB2=BE2,BC=9, ∴x2+92=(15-x)2, 解得x=,∴CE=. 【C层 创新挑战(选做)】 15.(运算能力、推理能力、应用意识)(新定义问题)定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c满足ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题: (1)如图1所示,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,其中AB=BC,AC>AB,请求 ∠A的度数. 【解析】(1)因为AB=BC,AC>AB, 所以a=c,b>c, 因为△ABC是“类勾股三角形”, 所以ac+a2=b2,所以c2+a2=b2, 所以△ABC是等腰直角三角形, 所以∠A=45°. (2)如图2所示,在△ABC中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.请证明△ABC为“类勾股三角形”. 【解析】(2)如图,在AB边上取点D,连接CD,使∠ACD=∠A,作CG⊥AB于点G, 因为∠CDB+∠CBD+∠BCD=180° ... ...