1.2.2 第2课时 运用完全平方公式进行计算 导学案（含答案） 2024-2025学年湘教版七年级数学下册

第1章 整式的乘法 1.2 乘法公式 1.2.2 完全平方公式 第2课时 完全平方公式的运用 学习目标： 1.进一步掌握完全平方公式.（重点） 2.灵活运用完全平方公式进行计算.(难点) 一、复习导入 1.完全平方公式： . 2. 想一想： （1）两个公式中的字母都能表示什么 （2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用 （3）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗 一、要点探究 探究点一：完全平方公式的运用 思考：怎样计算 1042，1982 更简便呢？ (1) 1042； (2) 1982； 典例精析 例1 运用乘法公式计算： (1) (x + 2y – 3)(x – 2y + 3)； 方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. (2) ( a + b + c )2. 方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算. 例2 化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y). 方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式. 例3 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值. 二、课堂小结 1.运用完全平方公式计算： (1) 962； (2) 2032. 2. 若 a + b = 5 ，ab = －6 ，求 a2 + b2 ，a2－ab + b2 . 3. 已知 x2 + y2 = 8，x + y = 4 ，求 x－y. 4. 有这样一道题，计算：2(x＋y)(x－y)＋[(x＋y)2－ xy]＋[(x－y)2＋xy]的值，其中 x = 2022，y = 2023．某同学把“y = 2023”错抄成“y = 2032”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由. 参考答案 一、要点探究 探究点一：完全平方公式的运用 思考：(1) 1042； 解：由于1042 = (100＋4) ，于是可运用完全平方公式1. 因此 1042 = (100 + 4)2 = 1002 + 2×100×4 + 42 = 10000 + 800 + 16 = 10816. (2) 1982； 解：由于1982 = (200－2)2 ，于是可运用完全平方公式2. 因此 1982 = (200－2)2 = 2002－2×200×2 + 22 = 40000－800 + 4 = 39204. 典例精析 例1 解：(1)原式 = [ x + (2y – 3)][x – (2y – 3)] = x2 – (2y – 3)2 = x2 – (4y2 – 12y + 9) = x2 – 4y2 + 12y – 9. (2)原式 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac. 例2 解：原式 = (x－2y)(x＋2y)(x2－4y2) = (x2－4y2)2 = x4－8x2y2＋16y4. 例3 解：因为 a＋b＝7， 所以 (a＋b)2＝49. 所以 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2×10＝29， (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9. 课堂小结 当堂检测 1. 解：(1) 962 = (100－4)2 = 1002－2×100×4 + 42 = 10000－800 + 16 = 9216. (2) 2032 = (200 + 3)2 = 2002 + 2×200×3 + 32 = 40000 + 1200 + 9 = 41209. 2. 解：a2 + b2 = (a + b)2 － 2ab = 52－2×(－6) = 37， a2－ab + b2 = a2 + b2－ab = 37－(－6) = 43. 3. 解：因为 x + y = 4 ，所以 (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = 16 ①. 又 x2 + y2 = 8 ② , ①－② , 得 2xy = 8 ③. ②－③ , 得 x2 + y2－2xy = 0 ，即 (x－y)2 = 0. 故 x－y = 0. 4. 解：原式＝2x2－2y2＋( x2＋y2＋2xy－xy)＋(x2＋y2－2xy＋xy) ＝2x2－2y2＋x2＋y2＋xy＋x2＋y2－xy ＝2x2－2y2＋2x2＋2y2＝4x2. 答案与 y 无关. ... ...