1.2.2 第1课时 完全平方公式 导学案（含答案） ）2024-2025学年湘教版七年级数学下册

第1章 整式的乘法 1.11.2 乘法公式 1.2.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 学习目标： 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点.（重点） 2.会运用公式进行简单的运算.(难点) 一、复习导入 1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？ 2.公式的结构特点： . 情境导入 一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米. 形成四块实验田，以种植不同的新品种 (如图). 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. 你发现了什么？ 要点探究 探究点一：完全平方公式 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = . (2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = . (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = . 根据上面的规律，你能直接写出下面式子的结果吗？ (x＋y)2 = . (x－y)2 = . 知识要点 完全平方公式 (x＋y)2 = x2 + 2xy + y2； (x－y)2 = x2－2xy + y2 . 简记为： “首平方，尾平方，积的 2 倍放中央” 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫作完全平方公式. 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同； 4. 公式中的字母 x，y 可以表示数、单项式或多项式. 想一想： 设 a ，b 都是正数，将完全平方公式1中的 x 用a 代入， y 用 6 代入，可得 (a ± b) = a ± 2ab + b . 你能根据图 1 和图 2 的面积解释完全平方公式吗 典例精析 例1 运用完全平方公式计算： (1) ( a + )2； (2) (3m＋n)2. (3) (2x－3)2 . 例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值. 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号可正可负，避免漏解． 二、课堂小结 1. 若 a2 + ab + b2 + A = (a－b)2 ，则 A =（ ） A．－3ab B．－ab C．0 D．ab 2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，结果应当怎样改正？ (1) (x + y)2 = x2 + y2 (2) (x－y)2 = x2－y2 (3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2 3. 运用完全平方公式计算： (1) (6a + 5b)2； (2) (4x－3y)2； (3) (2m－1)2； (4) (－2m－1)2. 参考答案 一、复习导入 1. 平方差公式：(x + y)(x－y) = x2－y2. 2.公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差. 情境导入 直接求：总面积 = (a + b)(a + b) 间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 要点探究 探究点一：完全平方公式 (1) p2 + 2p + 1 (2) m2 + 4m + 4 (3) p2－2p + 1 (4) m2－4m + 4 (x＋y)2 = x2 + 2xy + y2 . (x－y)2 = x2－2xy + y2 . 典例精析 例1 = a2 + a + . (2) 将完全平方公式1 中的 x 用 3m 代入，y 用 n 代入，可得 (3m＋n )2 ＝ (3m)2＋2 3m n＋n2 =9m2＋6mn＋n2 . (3) (2x－3)2 = (2x)2－2×(2x)×3 + 32 = 4x2－12x + 9. 例2 解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2 =(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， 所以(m＋1)xy = ±2×6x·5y. 所以m＋1 =±60. 所以 m＝59 或 m＝－61. 二、课堂小结 当堂检测 1. A 2.答：(1) × x2 + 2xy + y2 (2) × x2－2xy + y2 (3) × x2－2xy + y2 (4) × 4x2 + 4xy + y2 3. (1) (6a + 5b)2= 36a2 + 60ab + 25b2. (2) (4x－3y)2 = 16x2－24xy + 9y2. (3) (2m－1)2 = 4m2－4m + 1. (4) (－2m－1)2 = 4m2 + 4m + 1. ... ...