第4章 平面内的两条直线 4. 6 两条平行线之间的距离 学习目标： 1.掌握公垂线段的概念及其性质； 2. 会求平行线间的距离. （重点） 一、情境导入 连接两点的线段的长度叫两点间的距离. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 展示三个视频，借助数学知识解释生活中的活动. 某火车站一位铁路护路工人因有事出差，为了保证火车安全行驶，假设由你来顶替他工作你应该怎样确定两条铁轨是平行的呢？ 要点探究 探究点一：两条平行线间的距离 活动1：请各位同学用直尺量一量自己的数学课本，它的宽度是多少？ 你的直尺与课本的两边成什么角度？量在课本的哪个位置？大家量得的结果是一样的吗？ 概念聚焦： 与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的公垂线段． 练一练 1. 如图 (1)，已知 m∥n，_____为公垂线； 2. 如图 (2)，已知 a∥b，_____为公垂线段. 合作探究 活动2：请任意画两条互相平行的直线a、 b, 在直线 a上, 任意取两点A, B. 然后量出点A、B到直线b的距离, 并加以比较, 你能得到什么结果 活动3：把一把三角尺的一条直角边沿着直线 b 移动，请观察三角尺的另一条直角边与直线 a交点处的刻度，问：刻度有改变吗？ 通过上述实验，你发现了什么？ 概念学习 两条平行线的所有公垂线段都_____. 几何语言： 因为 a∥b，AC，BD 是 a，b 的公垂线段， 所以 AC = BD. 定义：两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离. 由上述结论可以进一步猜测： 平行线 l1 与 l2 之间的距离等于 l1 上任一点到直线 l2 的距离. 思考：你可以说明这个猜想是正确的吗？ 例1 如图，AB∥DC，AB = DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，那么线段 AE 与 CF相等吗 例2 如图，已知 AD∥BC，判断S△ABC与S△DBC是否相等，并说明理由. 练一练： 如图，MN∥AB，P，Q 为直线 MN 上的任意两点，△PAB 和△QAB 的面积有什么关系？为什么？ 例3 如图，设 a ，b ，c 是三条互相平行的直线. 已知 a 与 b 的距离为 5 ，b 与 c 的距离为 2 ， 求 a 与 c 的距离. 变式：设 a 、b 、c 是三条互相平行的直线，已知 a 与 b的距离为 5 ，b 与 c 的距离为 2 ，求 a 与 c 的距离. 二、课堂小结 1. 两平行线的公垂线段有多少条 （ ） A. 1 条 B. 2 条 C. 无数条 D. 一条也没有 2. 点 P，M 分别在直线 AB 和直线 CD 上，且 AB∥CD， 点 P 到 CD 的距离为 5 cm ，则点 M 到AB 的距离 ( ) A. 大于 5 cm B. 小于 5 cm C. 等于 5 cm D. 不能确定 3. 如图，a⊥c，b⊥c，c 交 a，b 于A、B 两点，d 交 a，b 于 C、D 两点，且 d 与 c 不平行，则 AB_____CD（填“＞”“=” “＜”）. 4. 如图，长方形 ABCD 的宽 AD 的长度是 2 cm，点 P 到 AB 的距离是 1.6 cm，那么点 P 到CD的距离是_____. 第3题图 第4题图 5. 如图，已知直线 MN∥PQ ，BC = 4 cm ，若△ABC的面积为 6 cm , 则平行线 MN，PQ 的距离是_____ cm. 第5题图 第7题图 6. 已知 a∥b∥c ，a 与 b 之间的距离为 3 cm ，b 与 c 之间的距离为 4 cm ，则a与c之间的距离为_____ cm. 7.如图是山坡上两棵树,你能量出他们之间的距离吗 拓展提升 1.如图1，MN∥AB，P、Q 为直线 MN 上的任意两点，△PAB 和△QAB 的面积相等吗？为什么？ 2. 如图2，MN∥AB，P 是MN上的一动点，S△PAB = a cm2. P 沿 MN 的方向每次移动 1 cm，当它移动10 cm时得到点P1，那么△P1AB 的面积是多少？ 参考答案 情境导入 B C A 可以测量不同位置的两条铁轨之间的距离 探究点一：两条平行线间的距离 活动一 测量结果可以自行统计，注意可以把直尺放在课本上任何一个位置，但必须保持直尺与课本的两边互相垂直，量得的结果是一样的. 练一练 1. b 2. CD 活动2 AC = ... ...
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