5.4.2 正弦函数 余弦函数的性质 教案（2份打包）

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第一课时） (人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章) 一、教学目标 1.通过观察正弦函数、余弦函数的图象，感悟正、余弦函数的周期性，理解周期函数的概念，掌握正弦函数、余弦函数以及、等函数周期的一般求解方法． 2. 经历正弦函数、余弦函数奇偶性的证明过程，掌握与相关函数的奇偶性判断及对称轴、对称中心的问题求解。 3. 感悟函数的周期性、奇偶性对研究函数图象和性质的作用，为后续利用三角函数性质解决问题作铺垫。 二、教学重难点 1. 利用正弦函数和余弦函数的图象，得到其周期性、奇偶性，并给予代数证明 2. 用正弦函数和余弦函数的性质解决有关的问题 三、教学过程 1.直观感知，新课导入 引导语：同学们，前面我们学习了正弦函数、余弦函数的定义，并掌握了利用“五点作图法”绘制正弦、余弦函数的图象，现在同学们观察其图象，用自己的语言描述一下正、余弦函数的图象具有哪些特点？ ： ： 生：函数图象循环往复，周而复始地向两边延伸，而且有起有伏，具有很好的对称性。 师：图象的这些特点其实蕴藏着正弦函数、余弦函数丰富的规律性，即函数的性质，与“周而复始”相对应的是周期性，而与“对称”相对应的是函数的奇偶性。下面我们一起来探索学习这两大性质———周期性、奇偶性。 设计意图：正弦函数、余弦函数的图象形态优美，波浪起伏，周而复始，既是轴对称图形也是中心对称图形。学生首先通过直观感知函数图象，发现其中所蕴含的规律，从而激发起探索的欲望。 2.师生互动，新知探究 2.1周期性 师生活动：观察正弦函数的图象，可以发现，图象上横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，即自变量的值增加的 整数倍时所对应的函数值保持不变，数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律。 定义：一般地，设函数的定义域为,如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数。非零常数叫做这个函数的周期。 师：根据周期的定义，正弦函数的周期是多少？其周期唯一吗？ 生： 以及都是正弦函数的周期。事实上且，常数都是它的周期。 师：这一点可从定义看出，也能从诱导公式中体现出来。咱们都知道：，那么是正弦函数的一个周期吗？为什么？ 生：不是，比如，并不是对定义域内的每一个都有。 师：若一个函数的一个周期是,则都是函数的周期吗？ 生：是的，由定义可知：。 师：这说明周期函数的周期不止一个。 定义：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期。 注：①如果不加特别说明，所说的周期一般都是指函数的最小正周期。 ②并非所有的周期函数都有最小正周期，例如，对于常数函数（是常数），所有的非零实数都是它的周期，显然在非零实数集中并不存在最小的正数。 根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是。类似地，余弦函数也是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是。 教师指出：最小正周期是函数最具代表性的一个周期，在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期。但并非所有的周期函数都有最小正周期，例如，常函数（为常数），所有的非零常数都是它的周期，显然在非零实数组成的集合中并不存在最小的正数，所以常函数并不存在最小正周期。 设计意图：从正弦函数的图象入手分析其规律，归纳一般得到周期函数的定义，全方位理解周期及最小正周期的含义，为下面研究做铺垫。 例1求下列函数的周期： 师生活动：对于这些问题，学生能够求出周期，但是不清楚如何规范地表达，这是本例的难点所在教师要基于学生课堂上的生成，给出分析求解的思路和程序，并加以示范，帮助学生理解． 求解 ... ...