3.2.1 双曲线及其标准方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册

中小学教育资源及组卷应用平台 3.2.1 双曲线及其标准方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 一、单选题 1．已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 2．已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（ ） A． B． C． D． 3．设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ） A． B． C． D． 4．已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 5．已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 7．已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（ ） A．2 B． C． D． 8．双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 9．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（ ） A． B． C． D． 10．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 11．已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（ ） A． B． C．的面积为31 D．的周长为 12．在平面直角坐标系中，已知是动点．下列命题正确的是（ ） A．若，则的轨迹的长度等于2 B．若，则的轨迹方程为 C．若，则的轨迹与圆没有交点 D．若，则的最大值为3 三、填空题 13．已知双曲线的上、下焦点分别为，，动点与点在曲线上，且满足，则该双曲线的标准方程为 . 14．双曲线的焦点为，点在双曲线上，若，则 . 15．已知，分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交的上支于A，B两点，若的长等于虚轴长的3倍，则的周长为 ． 四、解答题 16．已知双曲线是上的任意一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若分别为双曲线的左 右焦点，，求的面积. 17．求符合下列条件的曲线的标准方程 (1)求经过点，的椭圆的标准方程； (2)求与椭圆有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程． 18．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于； (2)焦点在轴上，经过点和点． (3)经过点和． (4)已知与椭圆共焦点的双曲线过点 19．已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，． (1)求双曲线C的方程； (2)若，求． 参考答案 1．C 根据给定条件，得，即可确定轨迹作答. 因为，于是有， 所以动点P的轨迹是一条射线． 故选：C 2．A 由题意可得，根据双曲线的定义及焦点的位置即可求解. 由题意可得, 由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且,即， 所以. 又因为焦点在轴上，所以曲线方程为. 故选:A. 3．B 求出方程表示双曲线的必要不充分条件的范围可得答案. 由，方程表示双曲线， 则，所以， 根据选项，“方程表示双曲线”的必要不充分条件为B. 故选：B. 4．D 设双曲线右焦点为C，利用双曲线的定义，将的最大值问题转化为的最小值问题，从而借助平面中三角形两边之差大于第三边的几何性质求解即可． 设C为双曲线右焦点，则，， 而，故直线与双曲线的右支交于两个不同的点， 而，仅当共线且A在之间时等号成立， 所以， 当共线且A在之间时等号成立． 故选：D． 5．D 利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得. 双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所 ... ...