26.2.3 求二次函数的表达式 同步学案（学生版+答案版）2024-2025学年数学华师大版九年级下册

3.求二次函数的表达式 课时学习目标 素养目标达成 1.会用待定系数法求二次函数的表达式 运算能力、模型观念 2.能灵活应用一般式、顶点式、交点式求二次函数的表达式 运算能力、推理能力 基础主干落实　　博观约取 厚积薄发 新知要点 对点小练 1.二次函数的表达式的三种形式 形式内容一般式y=　ax2+bx+c　(a≠0) 顶点式y=　a(x-h)2+k　(a≠0) 交点式y=　a(x-x1)(x-x2)　(a≠0) 1.已知二次函数的图象经过(0,0),(3,0),(1,-4)三点,则该函数的表达式为(C) A.y=x2-3x B.y=2x2-3x C.y=2x2-6x D.y=x2-6x 2.灵活选择设法求二次函数表达式 (1)已知三个一般点的坐标,设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求表达式. (2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值,设顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)求表达式. (3)已知抛物线与x轴的交点坐标,设交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)求表达式. 2.如图是函数y=-(x-h)2+k的图象,则其表达式为　y=-(x+1)2+5　. 重点典例研析　　循道而行 方能致远 重点1　用一般式求二次函数的表达式(模型观念、运算能力) 【典例1】(教材再开发·P22例7拓展)如图,二次函数y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(5,0),C(0,-5),点D是抛物线的顶点,过D作x轴的垂线交直线BC于点E. (1)求此二次函数的表达式及点D坐标; (2)连结CD,求△CDE的面积. 【解析】(1)由函数图象过点C(0,-5), ∴c=-5, 又由于图象过(-1,0),(5,0), ∴a-b-5=0, 25a+5b-5=0, 解得, ∴y=x2-4x-5, ∵y=x2-4x-5=(x-2)2-9, ∴D(2,-9). (2)设直线BC的表达式为y=mx+n, 把B(5,0),C(0,-5)分别代入得, 解得, ∴直线BC的表达式为y=x-5, 当x=2时,y=2-5=-3, ∴E(2,-3), ∴S△CDE=×(-3+9)×2=6. 【举一反三】 (2024·南京期末)已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表: x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … (1)求该二次函数的表达式; (2)若点A(-1,y1),B(4,y2)在这个函数的图象上,则y1　　　　y2.(填“>”“<”或“=”) 【解析】(1)由题知,将点(0,5),(1,2),(2,1)分别代入函数表达式得,, 解得, 所以该二次函数表达式为y=x2-4x+5. (2)当x=-1时, y1=(-1)2-4×(-1)+5=10; 当x=4时, y2=42-4×4+5=5; ∴y1>y2. 答案:> 重点2用顶点式、交点式求二次函数的表达式(运算能力、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P22例6拓展)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且图象过点(1,-3), (1)求这个二次函数的表达式; (2)写出它的开口方向、对称轴. 【自主解答】(1)设函数表达式为y=a(x+1)2+2,把点(1,-3)代入表达式,得 a=-,所以抛物线的表达式为y=-(x+1)2+2; (2)由(1)的函数表达式可得:抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-1. 【举一反三】 1.(2024·北京期末)已知某二次函数的图象开口向上,且顶点坐标为(1,3),则这个二次函数表达式可以是　y=(x-1)2+3(答案不唯一)　. 2.(2024·合肥期末)抛物线的图象如图所示,其中点A为顶点. (1)写出点A,B的坐标; (2)求出抛物线的表达式. 【解析】(1)观察题中图象可知,A(2,-4),B(0,4); (2)∵A(2,-4)为顶点, ∴设抛物线的表达式为y=a(x-2)2-4, 把B(0,4)代入得,4a-4=4,解得a=2, ∴抛物线的表达式为y=2(x-2)2-4. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·运算能力)一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的表达式为(C) A.y=-2(x+2)2+4 B.y=2(x+2)2-4 C.y=-2(x-2)2+4 D.y=2(x-2)2-4 2.(4分·运算能力)设二次函数y=ax2+bx+2(a≠0,b是实数),已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示,则该二次函数的表达式为(B) x … -1 0 1 2 3 … y … 5 m n 2 p … A.y=2x2-x+2 B.y=x2-2x+2 C.y=-2x2-5x+2 D.y=-x2+2x+2 3.(4分·运算能力)已知二次函数图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的表达式是(B) A.y=2x2+x+2 B.y=x2-3x+2 C.y=x2+3x+2 D.y=x2-2x+3 4.( ... ...