1.4.4 诱导公式与旋转 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.4.4 诱导公式与旋转 【学习目标】 1.理解±α与角α的终边的关系，会推导诱导公式.(逻辑推理) 2.掌握诱导公式，并且概括诱导公式的特点.(数学抽象) 3.能根据公式进行三角函数式的求值、化简以及证明.(数学运算) 【自主预习】 　　如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形中较小的锐角为α，直角三角形中较大的锐角为β. 1.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，则角α与β的正弦、余弦值分别是多少 2.α和β有什么关系 α与β的函数值之间有什么关系 3.根据上述结果，sin+α与cos α，cos+α与sin α之间有什么关系 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式中的角α只能是锐角. (　　) (2)sin(90°+α)=-cos α. (　　) (3)cosα-=-sin α. (　　) 2.若sin α=，则cos-α=　　　　. 3.若sin+α=，则cos α=　　　　. 4.已知sin θ=，则cos(450°+θ)=　　　　. 【合作探究】 　化简求值 　　如图，在平面直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1(x1，y1).根据三角函数的定义，sin α=y1，cos α=x1. 问题1：如图，作P1关于直线y=x的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系 角β与角α的三角函数值之间有什么关系 问题2：如图，作P2关于y轴的对称点P3，以OP3为终边的角γ与角α有什么关系 角γ与角α的三角函数值之间有什么关系 1.诱导公式与旋转 (1)sin-α= ，cos-α= ； (2)sin+α= ，cos+α= . 2.记忆口诀 对于角±α，k为奇数的三角函数，可通过记忆口诀“函数名改变，符号看象限”来进行变换. “函数名改变”是指正弦函数变为余弦函数，余弦函数变为正弦函数，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.将α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α是任意角. 化简：sin2-α-cos2+α. 【方法总结】　　用诱导公式进行化简时的注意点：(1)化简后项数尽可能少；(2)函数的种类尽可能少；(3)分母尽量不含三角函数的符号；(4)能求值的一定要求值；(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等. 化简：(1)·sinα-cos+α； (2)sin(-α-5π)cosα--cos+αsin(α-2π). 　给值求值 　　数学课上，学习小组一组的王浩宇给大家提出了一个问题：已知cos-α=，求sin+α的值. 同组的张瑜同学是这样解答的：∵-α=，∴α=-，∴sin+α=sin=. 李琦同学的解答是这样的：∵-α++α=， ∴sin+α=sin--α=cos-α=. 谢凡评价道：“张瑜的解题过程有点问题，要是换成，张瑜的解法可能无法再用了.” 问题1：谢凡的评价是否正确 为什么 问题2：将改为后，sin+α的值是什么 问题3：sin-α+sin+α的值是多少 给值求值的策略：(1)借助于诱导公式可以将任意的角转化为0，内的角；(2)给定某一角的三角函数值，再求另外一个不同角的三角函数值时，可以用已知的角整体代替未知的角进行求解. (1)已知sin+α=，求sin-α+2cos+α的值； (2)已知sinα-=，求的值. 【方法总结】　　已知三角函数值求值的“二观察，一转化” (1)“二观察”：①观察已知的角和所求的角之间的差异，寻求角之间的关系；②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名之间的差异. (2)“一转化”：运用诱导公式将不同的角转化为相同的角，将不同名的三角函数化为同名的三角函数. 已知sinα+=，求cosα-的值. 　诱导公式在三角形中的应用 　　已知△ABC. 问题1：sin(A+B)与sin C，cos(A+B)与cos C有什么关系 问题2：sin+与cos，cos+与sin有什么关系 (1)若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2对应的三个内角的正弦值，则(　　). A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C.△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形 D.△A1B ... ...