2.5.1 数量积的运算性质 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

数量积的运算性质 【学习目标】 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.(数学抽象) 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.(数学运算) 【自主预习】 　　上一节我们学面向量的数量积，平面向量的数量积的结果是数量.向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算，它的内容丰富，有广泛的应用. 阅读教材，结合上一节学习的内容回答下列问题. 1.平面向量的数量积的定义是什么 2.类比实数运算的消去律(ab=bc(b≠0) a=c)，在向量中，a·b=b·c(b≠0) a=c成立吗 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量a在向量b上的投影向量一定与b共线. (　　) (2)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角. (　　) (3)向量的数量积运算满足(a·b)·c=a·(b·c). (　　) (4)已知a≠0，且a·c=a·b，则b=c. (　　) 2.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，则a·b=(　　).　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　). A.e1在e2方向上的投影向量为cos θ·e2 B.= C.(e1+e2)⊥(e1-e2) D.e1·e2=1 4.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=1，则向量a与a-b的夹角为　　　　. 【合作探究】 　向量数量积的运算律 小明学习了向量数量积的运算后，根据实数的运算律，类比得出向量数量积的运算律，如表所示. 运算律 实数乘法 平面向量数量积 交换律 ab=ba a·b=b·a 结合律 (ab)c=a(bc) (a·b)·c=a·(b·c) (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b) 分配律 (a+b)c=ac+bc (a+b)·c=a·c+b·c 问题1：表中这些结果正确吗 问题2：如何证明(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) 1.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 2.多项式的乘法公式 (1)(a±b)2=a2±2a·b+b2. (2)(a+b)·(a-b)=a2-b2. 注意：①a⊥b a·b=0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算. ②a·a=a2=|a|2与|a|==也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化. ③用cos θ=求两向量的夹角，夹角的取值与a·b的符号有关. 一、数量积的运算 (1)已知向量a与b满足|a|=10，|b|=3，且向量a与b的夹角为120°，求(2a+b)·(a-b). (2)在△ABC中，已知AC=6，=2，·=4，求 ·. 【方法总结】向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，要先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键. (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 二、与向量模有关的运算 已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角为. 求：(1)|a+b|，|a-b|； (2)|3a+b|. 【方法总结】求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方问题，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，最后不要忘记开方； (2)a·a=a2=|a|2或|a|=，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 三、与向量垂直、夹角有关的问题 已知非零向量a，b满足a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直，求a与b的夹角. 【方法总结】(1)求向量a与b的夹角的思路：①求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ=，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值；②在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值. (2)与垂直有关的问题常应用性质a⊥b a·b=0解答. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·=4，·=-1，则·的值是　　　　. 已知向量a，b满足|a|=4，|b|=3，(a-b)·(a+2b)=0. (1)求a·b的值； (2)求|a-2b|的值. 已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3.若=λ+，且⊥，则实数λ ... ...