2.5.2 向量数量积的坐标表示 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.5.2 向量数量积的坐标表示 【学习目标】 1.掌握平面向量数量积的坐标表示.(逻辑推理) 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.(数学运算) 【自主预习】 1.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两个向量的夹角θ一定是钝角吗 2.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则公式a·b=|a||b|cos与a·b=x1x2+y1y2有什么关系 3.(a·b)c=a(b·c)是否成立 4.对于实数λ，(λa)·b有意义吗 它可以转化为哪些运算 1.(原创)判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a=(m，0)，则|a|=m. (　　) (2)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b x1x2-y1y2=0. (　　) (3)若a·b≠0，则a与b不垂直. (　　) (4)已知向量a=(1，2)，b=(2，-2)，则a·b=-2. (　　) 2.设a=(1，-2)，b=(3，1)，c=(-1，1)，则(a+b)·(a-c)等于(　　). A.11 B.5 C.-14 D.10 3.已知向量a=(x，1)，b=(1，-2)，且a⊥b，则|a+b|等于(　　). A. B. C.2 D.10 4.已知向量=(4，0)，=(2，2)，则与的夹角的大小为　　　　. 【合作探究】 　平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，类比向量数乘的坐标表示，探究平面向量数量积的坐标表示. 问题1：若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示 问题2：能否用a，b的坐标表示a·b 怎样表示 问题3：向量垂直与向量的数量积的关系是什么 能用坐标表示向量垂直吗 　　设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2). 数量积 a·b=x1x2+y1y2 向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0 一、给出坐标求数量积 已知向量a=(-1，2)，b=(3，2). (1)求a·(a-b)； (2)求(a+b)·(2a-b)； (3)若c=(2，1)，求(a·b)c，a(b·c). 【方法总结】进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两种方法：一是先将各向量用坐标表示，再直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. 二、向量垂直的坐标表示 设=(2，-1)，=(3，1)，=(m，3). (1)当m=2时，用和表示； (2)若⊥，求实数m的值. 【方法总结】用向量数量积的坐标表示解决垂直问题是把垂直条件代数化，方法更简捷，运算更直接，体现了向量问题代数化的思想. 已知向量a与b同向，b=(1，2)，a·b=10. (1)求向量a的坐标； (2)若c=(2，-1)，求(a·c)b. 已知在△ABC中，A(2，-1)，B(3，2)，C(-3，-1)，AD为BC边上的高，求点D的坐标. 　平面向量的模、夹角 问题1：若把表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别设为(x1，y1)，(x2，y2)，如何求a的坐标 |a|怎么用坐标表示 问题2：设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ是向量a，b的夹角，则cos θ如何用坐标表示 问题3：已知向量a=(x，y)，则与a共线的单位向量的坐标是什么 与a垂直的单位向量的坐标是什么 1.向量模的公式 设a=(x，y)，则|a|2=x2+y2，或|a|=. 2.两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|=||=. 3.向量的夹角公式 设两非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ==. 一、向量的模 已知平面向量a=(3，5)，b=(-2，1)，求a-2b及其模的大小. 【方法总结】求向量a=(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2=|a|2=x2+y2，求模时，不要忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2或|a|==，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 二、向量的夹角 已知O是原点，点A(-2，4)，B(1，a)，若∠ABO为钝角，则a的取值范围是(　　). A.(1，2) B.(-∞，1)∪(2，+∞) C.(1，3) D.(-∞，1)∪(3，+∞) 【方法总结】解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的夹角的求解方法：由cos θ ... ...