9.3　培优课　极化恒等式、与向量有关的最值(范围)问题（课件+学案+练习，共3份） 苏教版（2019）必修 第二册

培优课　极化恒等式、与向量有关的最值(范围)问题 课标要求　1.掌握极化恒等式及其应用. 2.掌握解决与向量有关的最值(范围)问题的常用方法. 【引入】 极化恒等式是我们解决向量问题经常用到的一个常用结论，常用于向量数量积及向量模的计算，还用来解决数量积的最值问题. 一、极化恒等式 探究1 如图，在平行四边形ABCD中，已知＝a，＝b. 证明：(1)||2＋||2＝2(||2＋||2)； (2)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2 如图，在△ABC中，设D为BC的中点，试证明·＝||2－||2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【知识梳理】 1.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]. 几何意义：两向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 2.两种模式 　　　　　　　　　　　　　 (1)平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，则·＝[||2－||2]. (2)三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝||2－||2. 温馨提示　(1)极化恒等式的作用主要在于它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”的有关计算. (2)极化恒等式及两种模式，注意右端差式的顺序不能颠倒. 例1 (1)如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且MN＝2BC，点E为DC的中点，则·＝(　　) A.－3 B.－2 C.－ D.－ (2)已知||＝10，若平面内一点P满足对于任意t∈R，有|－t|≥3，则·的最小值为_____，此时|＋|＝_____. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　以下两种情形，常考虑极化恒等式 (1)两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量； (2)有中点或能构造中点的有关数量积的向量问题. 训练1 (1)点P是矩形ABCD所在平面内一点，PA＝3，PC＝4，AC＝6，则·＝_____. (2)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴正半轴、y轴正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是_____. 二、向量的模、夹角的最值(范围) 例2 (1)已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为线段CD，BC上的点，若·＝13，·＝13，则||的最小值是(　　) A.1 B. C. D.3 (2)已知|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_____. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.求向量模的最值与范围的常用方法 (1)写出目标函数，化为函数求最值、值域； (2)利用向量运算的几何定义，数形结合求解； (3)利用三角不等式，|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 2.求向量夹角的范围或由夹角范围求参数的范围，关键是列出夹角的某种三角函数值的等价不等式 ... ...