第九章 图形的相似 6 黄金分割（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第九章 图形的相似 6 黄金分割 轻松过关 1.一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”，给人以美感，如图，若将 AB 抽象地看成一条线段，点P 为AB 的黄金分割点(AP>PB)，下列各式正确的是 ( ) 2.矩形的长与宽分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是 ( ) 3.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB 的黄金分割点(AP>BP),若线段 AB 的长为4 cm,则 AP 的长为 ( ) 4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=108°,分别以点 A,C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线 MN分别交BC,AC于点D,E,连接AD，以下结论不正确的是 ( ) A.∠BDA=72° B. BD=2AE 5.黄金分割是 Mr汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点 A，B分别在习字格的边 MN，PQ上,且AB∥NP, “晋”字的笔画“、”的位置在 AB 的黄金分割点 C 处，且 若NP=2cm ,则 BC 的长为 cm(结果保留根号)， 6.点 P 是线段AB 上的一点,如果AP =BP·AB,BP= -1,那么AP= . 7.如图,乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点 A，B 固定在乐器面板上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 cm.(结果保留根号) 8.我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形 ABCD 是黄金矩形，边AB 的长度为 则该矩形的周长为 . 9.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2,∠A = 36°, BD 平分∠ABC 交 AC 于点D. (1)求证：点D 是线段AC 的黄金分割点； (2)求出线段 AD的长. 10.如图所示，以长为2的定线段 AB 为边作正方形ABCD，取AB的中点 P，连接 PD，在BA 的延长线上取点F,使 PF= PD,以 AF 为边作正方形AMEF,点 M在AD 上. (1)AM,DM的长分别为 , ; (2)M是AD的黄金分割点吗 请说明理由. 11.如果我们身旁没有量角器或三角尺,又需要作 60°,30°,15°等大小的角，可采用下面的方法： 第一步：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM 和线段BN. (1)求∠3的度数; (2)在第(1)题图中,延长 BN 交AD 于点G,过G点作GH⊥BC 于点 H,得出一个以 DG为宽的黄金矩形GHCD(黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为 若已知AB=4,求 BC的长. 快乐拓展 12.(1)我们把邻边之比为 的矩形叫做黄金矩形.如图，已知正方形ABCD，请用无刻度直尺和圆规作出黄金矩形 ABPQ，使得点 P,Q分别在线段 BC,AD 上;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的基础上，若以 AQ为边作正方形AMNQ,使得点 M,N分别在线段AB,PQ上，则矩形 MBPN 是黄金矩形吗 为什么 参考答案 1. A 2. D 3. A 4. C 5.(-1) 6. 2 7.(80-160) 或4 9.解:(1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°, ∵BD平分∠ABC, ∴AD=BD,BC=BD,∴△ABC∽△BDC, 即 ∴点 D 是线段AC 的黄金分割点； (2)∵点 D 是线段AC 的黄金分割点, 10.解:(1)在 Rt△APD中,AP=1,AD=2,由勾股定理，得 ∴AM=AF=PF-AP=PD-AP= 1,DM=AD-AM=3- 故答案为 (2)结论：点M 是AD 的黄金分割点. ∴点 M是AD 的黄金分割点. 11.解:(1)如图1,连接AN, 由折叠,得∠1=∠2,AB=NB,EF垂直平分AB,∴NA=NB,∴AB=NA=NB, ∴△ABN为等边三角形，∴∠ABN=60°,∴∠1=∠2=30°. ∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°, ∴∠3=∠ABC-∠NBA=90°-60°=30°; (2)如图2延长 BN,交 AD 于点G,过点 G作GH⊥BC, ∵ABCD是矩形纸片,GH⊥BC,∴AB=GH=DC=4, ∵黄金矩形GHCD以DG 为宽,GH=4, ∵∠1=∠2=∠3=30°,∴BG=2GH=8, 由勾股定理，得 4 12. ... ...