9.4.2 利用边角的关系判定两个三角形相似（学案含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 9.4.2 利用边角的关系判定两个三角形相似（学案含答案） 列清单·划重点 知识点1 相似三角形的判定定理二 1.定理 两边对应 且夹角 的两个三角形相似. 2.符号语言： 如图所示，如果 且∠A=∠A',则△ABC △A'B'C'. 注意 (1)当两边对应成比例时，只有具备“夹角”相等才能相似，并不是任意角相等；仅两边成比例，其中一边所对的角相等的两个三角形不一定相似. (2)找夹角相等的条件应充分考虑“对顶角”“公共角”. (3)当条件有两边的长度或已知两边对应成比例时，可考虑找两边的夹角对应相等来得到两三角形相似. (4)特别地，若两个直角三角形的两直角边对应成比例，则这两个三角形相似. 知识点2 证明三角形相似的一般思路 1.有一对等角，找 (1)另一对等角→两角分别相等的两个三角形相似； (2)等角的两邻边成比例→两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2.有两边成比例，找 夹角相等→两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 3.三角形是直角三角形，找 (1)一对锐角相等→两角分别相等的两个三角形相似； (2)两组直角边成比例→两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 4.三角形是等腰三角形，找 (1)顶角相等→求出底角，两角分别相等的两个三角形相似； (2)一对底角相等→另一对底角也相等，两角分别相等的两个三角形相似. 明考点·识方法 考点1 利用相似三角形判定定理二判定三角形相似 典例1 如图是由 8个小正方形组成的网格，则在△ABD，△ACD,△EBD,△EAF 中,与△ABC 相似的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 思路导析 利用相似三角形的判定定理二逐个判断. 变式 如图，在四边形 ABCD 中,已知∠ADC=∠BAC,那么补充 下 列 条 件 后 不 能 判 定 △ADC 和△BAC 相似的是 ( ) A.CA平分∠BCD D.∠DAC=∠ABC 考点2 相似三角形判定定理二的应用 典例2 如图,在△ABC 和△ADE 中,AB=2AD,AC=2AE,BC=3,且∠BAD=∠CAE.求 DE的长. 思路导析 由题意可证△ADE∽△ABC，可得 即可求 DE的长. 变式 如图,在△ABC中,AB=2,BC=4,D 为 BC 边上一点,BD=1. (1)求证:△ABD∽△CBA; (2)如果 求AC的长. 当堂测·夯基础 1.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD 交于点O,若 则图中一定相似的三角形是 ( ) A.△BOA∽△BAD B.△BOA∽△COD C.△BOC∽△BCD D.△COB∽△CBA 第1题图 第2题图 2.如图,点 P 在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件，不正确的是 ( ) A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC 3.如图,AD 平分 ，则∠B= . 第3题图 第4题图 4.如图,已知△ABC中,D 为边AC 上一点,P 为边AB 上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当AP 的长度为 时,△ADP 和△ABC 相似. 5.如图,点 E,F 分别在正方形ABCD 的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2. 求证:△ABE∽△ECF. 参考答案 【列清单·划重点】 知识点1 1.成比例 相等 2.∽ 【明考点·识方法】 典例1 B 解析:由题意可得∠ABC=∠EAF=135°,设小正方形的边长为a，则 CD=BC=a,BD=2a,AF=3a,BE= ∵AB=BCD= ,∴△ABC∽△EBD, ∴△ABC∽△DBA. 变式 C 典例2 解:∵AB=2AD,AC=2AE, ∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAC=∠DAE,且 ∴△ABC∽△ADE,∴BCDE=AB=2, 变式 解:(1)证明:∵在△ABC中,AB=2,BC= ∵∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA; (2)由(1)知△ABD∽△CBA, ∵AD= ,BC=4,AB=2,BD=1, 【当堂测·夯基础】 1. B 2. D 3. 25° 4. 4或9 5.证明:∵BE=3,EC=6,CF=2,∴BC=3+6=9, ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°, ∴,∴△ABE∽△ECF. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...