4.4 数学归纳法* 课标要求 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 1.思考 (1)如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ (2)在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 2.填空 一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行： (1)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝_____时命题也成立. 根据(1)(2)就可以断定命题对于从_____开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法叫作数学归纳法(mathematical induction). 数学归纳法是证明与_____有关的命题的常用方法. 温馨提醒 数学归纳法的两个步骤分别是数学归纳法的两个必要条件，二者缺一不可.步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证，这两个步骤缺一不可.如果缺少步骤(2)，无法对当n取n0以后的数时的结论是否正确作出判断；如果缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了. 步骤(2)中，证明“当n＝k＋1时命题成立”的过程中，必须利用归纳假设，即必须用上“假设当n＝k时命题成立”这一条件. 3.做一做 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型一 用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明：1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)，其中n∈N*. 思维升华 用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： (1)n＝n0时，等式的结构. (2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项. 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项. ②代数式相邻两项之间的变化规律. ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系. 训练1 求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*). 题型二 用数学归纳 ... ...
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