2.1 二次函数的定义与性质 学案（无答案）

2024年北师大版九年级下册数学导学案 编写：初三数学教研组 2024.12.10 第二章 二次函数 §2.1 二次函数的定义与性质 【学习目标】 1. 理解并掌握二次函数的概念，并能根据实际问题建立基础的二次函数模型； 2. 经历探索二次函数的图象的做法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验； 3. 理解表达式中各参数的含义，并会求二次函数的对称轴、最值、顶点坐标、开口方向、单调性等函数性质问题； 4. 利用绘制的不同的二次函数图像总结出二次函数图像平移的规律，类比延伸出函数图像平移的规律。 【学习过程】 一、二次函数的定义 一般地，若两个变量，之间的对应关系可以表示成_____（，，是常数，且_____）的形式，则称是的_____。其中是自变量，是_____次项系数，是_____次项系数，是_____。 例1 已知函数。 （1）当为何值时，该函数是关于的一次函数； （2）当为何值时，该函数是关于的二次函数； 例2 如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24 m的栅栏，设总面积为m2，垂直于墙的一边长为m，写出关于的函数关系式，并求自变量的取值范围。 [识记理解1] 1. 已知函数。 （1）当为何值时，该函数是关于的一次函数； （2）当为何值时，该函数是关于的二次函数； 2. 如图，用长为9 m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为m，窗户的透光面积为m2（铝合金条的宽度不计）。 （1）求出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （2）能否使窗的透光面积达到3 m2，如果能，窗口的高度和宽度各是多少？如果不能，请说明理由。 二、二次函数的性质 1. 二次函数的图像为_____，开口大小与方向与_____有关，对称轴与_____有关，与轴交点坐标与_____有关。 2. 二次函数的形式：（1）配方式：_____ （2）交点式：_____ （3）一般式：_____ 3. 二次函数的图象与性质 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最值 4. 二次函数的图象与性质 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最值 5. 一般形式的二次函数的图象与性质 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最值 例3 已知二次函数。 （1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值，并画出该二次函数的图像； （2）求出此抛物线与轴、轴的交点坐标； （3）当取何值时，随着的增大而减小。 例4 根据下列条件求的取值范围。 （1）函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； （2）函数有最大值； （3）抛物线与抛物线的形状相同； （4）函数的图象是开口向上的抛物线。 例5 已知二次函数的图象上有三点，，，判断、、的大小关系。 例6 二次函数的部分图像如图所示，对称轴为，且经过点，试证明下列说法。 （1）；（2）；（3）； （4）（其中）；（5）若、是抛物线上的两点，则。 例7 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，，在轴的正半轴上，点，，，，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，，都为等边三角形，求的边长。 [识记理解2] 1. 已知函数。 （1）将该二次函数的表达式改写成配方式，并画出该二次函数的图像； （2）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、单调性以及和坐标轴的交点坐标。 2. 点，，均在二次函数的图象上，判断、、的大小关系。 3. 二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，试证明下列结论。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 4. 抛物线的顶点为，已知的图象经过点，求这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积。 三、二次函数的平移 平移规律：_____。（清楚是在上还是在上） 例8 将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式。 （1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位； （2）顶点不 ... ...