中小学教育资源及组卷应用平台 第3章 函数 知识点一 函数的概念 一般地，设是非空数集，对于集合中的每一个元素，按照某个确定的对应法则，都有唯一确定的值和它对应，那么就称为的函数，记作， 例题1 若函数，则的值是（ ） A.1 B.9 C.4 D.-3 例题2 函数的图像与直线（是常数）的交点个数（ ） A.有且只有一个 B.至少有一个 C.至多有一个 D.有一个或两个 例题3 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 例题4 已知函数，则的值为（ ） A.2 B.-2 C.-4 D.4 知识点二 函数的要素 函数的三要素： （1）定义域 （2）对应法则 （3）值域 求函数定义域的类型： （1）若函数是整式，则函数的定义域为R （2）若函数是分式，则分母不为零 （3）若函数是偶次根式，则被开方数≥0 （4）若函数是由几个式子组成，则函数定义域是几个式子定义域的交集。 函数值的求法：换元法 用任意实数a替换解析式中中的x，即可以得到的值。 所有函数值组成的集合是函数的值域 例题1 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 例题2函数的值域是（ ） A. B. C. D. 例题3 函数的定义域是（ ） A.（-2，4） B.（-∞，-2）∪（4，+∞） C.[-2,4] D.（-∞，-2]∪[4，+∞） 例题4 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 知识点三 函数的表示方法 解析法：利用解析式表示函数的方法称为解析法。 常见函数的解析式： （1）一次函数：y=kx+b（k≠0）； （2）正比例函数： y=kx（k≠0）； （3）反比例函数： （k≠0）； （4）一元二次函数：①一般式;② ；③ ， ，顶点坐标，两根， 。 列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法称为列表法。 图像法：利用图像表示函数的方法称为图像法。 表示方法 优点 缺点 解析法 全面概括变量之间的关系，能够通过解析式求出任意自变量对应的函数值，也能够归纳出函数的性质。 不够直观，部分函数没有办法用解析式表示。 列表法 直接看出某些自变量所对应的函数值。 只能表示表中数据的关系 图像法 能够形象、直观的表示函数变化情况 函数值只能近似观察到 例题1 函数的图像上的点是（ ） A.（-2，0） B.（-1，3） C.（0，-1） D.（1，2） 例题2 函数的图像不经过（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 例题3 函数，的值域为 。 例题4 设函数，且，则 。 知识点四 增、减函数的概念 设函数的定义域为D，区间． 如果对于区间上的任意两点，，当时，都有，那么称函数在区间上是增函数，区间I称为函数的增区间． 如果对于区间上的任意两点，，当时，都有，那么称函数在区间上是减函数，区间称为函数的减区间． 证明函数的单调性的步骤1： （1）取值：在给定区间上任取两个不相等的自变量的值，，则 （2）计算： 。 （3）判断：的正负。 （4）定论：当时，函数在这个区间上是增函数；当时，函数在这个区间上是减函数。 证明函数的单调性的步骤2： （1）取值：在给定区间上任取两个不相等的自变量的值，，令。 （2）计算： 。 （3）判断： 的正负。 （4）定论：当 ，函数在这个区间上是增函数；当时，函数在这个区间上是减函数。 例题1 若函数在R上是减函数，则有（ ） A. B. C. D. 例题2 若是定义在（-1,2]上的减函数，，则（ ） A. B. C. D. 例题3 若函数在R上是减函数，则与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 例题4 用函数单调性的定义证明：函数，在（0，2）上是减函数。 知识点五 常见函数的单调性 正比例函数y=kx（k≠0） （1）k＞0，增区间：R，减区间： （2）k＜0，增区间：，减区间：R 反比例函数y=(k≠0) （1）k＞0 增区间：，减区间：（-∞，0）和（0，+∞） （2）k＜0 增区间：（-∞，0）和（0，+∞），减区间： 一次函数y=kx+b(k≠0) （1）k＞0 增区间：R，减区间： （2 ... ...
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