1.3.2 两条直线垂直 [学习目标] 1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 一、两条直线垂直关系的判定 问题1 若两条垂直直线的斜率都存在，那么它们的斜率有怎样的关系呢？ 问题2 如果两条直线斜率的乘积为－1，这两条直线互相垂直吗？ 问题3 两条直线互相垂直，一定能得到两条直线的斜率之积等于－1吗？ 知识梳理 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率_____，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 例1 (1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． 反思感悟 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 跟踪训练1 判断下列两直线是否垂直． (1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10,2)，B(20,3)． (2)直线l1经过A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(－2,4)，Q(2,4)． (3)直线l1的斜率为，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行． 二、求与已知直线垂直的直线方程 例2 求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 反思感悟 (1)求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在且斜率不为0，则利用斜率乘积等于－1求斜率；若不存在，则所求直线斜率为0，然后用点斜式求直线方程；若斜率为0，则所求直线斜率不存在． (2)与直线l1：Ax＋By＋C1＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，其中A，B不全为0. 跟踪训练2 (1)与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的方程是( ) A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4 C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4 (2)已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的方程为_____． 三、两直线垂直的综合问题 例3 (1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为_____． (2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为_____． 反思感悟 解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系． (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0. 跟踪训练3 (1)“a2＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 (2)若直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是( ) A．－4 B．2 C．－2 D．4 1．知识清单： (1)两直线垂直的条件． (2)求垂直直线方程． (3)直线垂直的综合应用． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合． 3．常见误区：研究两直线垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况． 1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋2y－2＝0互相垂直，则实数a的值是( ) A．1 B．－1 C．4 D．－4 2．(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为( ) A. B．－ C．a D．不存在 3．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)三点，点D在x轴上，则 ... ...
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