一、直线方程的求法及应用 1．直线方程的五种形式的比较 名称 方程形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上一点，k是斜率 不垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个点 直线不垂直x轴和y轴 截距式 ＋＝1(a≠0，b≠0) a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) A，B，C为系数 任何情况 (1)各种形式的方程可以相互转化，但求方程时，往往应用前四种形式，在呈现最后结果时，如果没有特殊要求，就写成一般式． (2)若题中无特殊要求，则把所求直线化成一般式时，有如下约定：①一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列；②x项的系数为正；③x，y的系数和常数项一般互质，若有除1之外的公约数需要化简约分． 2．通过求直线方程，提升了学生逻辑推理、数学运算的核心素养． 例1 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2)． (1)若C点坐标为(1,0)，求AB边上的高所在的直线方程； (2)若点M(1,1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程． 反思感悟 求直线方程的一种重要方法就是待定系数法．运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要． 跟踪训练1 已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点C的坐标； (2)直线BC的方程． 二、两直线的平行与垂直 1．判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式．如l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1∥l2. ②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化为l1：x＝x1，l2：x＝x2，则x1≠x2 l1∥l2. (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合，排除两直线重合，就能判定两直线平行． 2．判断两直线垂直的方法 方法一： 方法二：若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0. 例2 (1)已知A，B，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝_____. (2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是_____． 反思感悟 一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0. 跟踪训练2 (1)若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为( ) A．1和2 B．－1和2 C．1和－2 D．－1和－2 (2)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为_____． 三、两直线的交点与距离问题 1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养． 例3 (1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为( ) A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或3 (2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． 反思感悟 跟踪训练3 (1)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( ) A．2 B. C．2 D. (2)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离 ... ...
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