10.2.4 判定三角形的形状、反证法（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第十章 三角形的有关证明 2 等腰三角形 第4课时 判定三角形的形状、反证法 基础闯关 知识点一：反证法 1.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时,应假设( ) A. a 不垂直于c B. a,b都不垂直于c C. a⊥b D. a 与b相交 2.用反证法证明“若|a|＜2,则a＜4”时,应假设 3.用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设 . 4.如图,直线在同一平面内,且∥,与相交于点 P.求证:与相交. 知识点二：等腰(边)三角形的判定及其应用 5.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE交CD于点D,交AC于点E,若AC=5,BC=3,则BD 的长为( ) A.2.5 B.1.5 C.2 D.1 第5题图 第6题图 6.[一题多解]如图,AB=AC,AE=EC=CD,∠A=60°.若EF=2,则DF=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7.如图，用圆规以直角顶点O 为圆心，以适当长为半径画一条弧交两直角边于A，B两点.若再以A 为圆心，以OA 的长为半径画弧，与弧AB 交于点C,则∠BOC 等于 . 第7题图 第8题图 8.如图,CD 平分∠ACB,DE∥BC,AE=2cm,DE=3cm,则AC的长为 cm. 9.[推理能力]如图,在△ABC中,AB=AC,D,E 是△ABC 内的两点,AD 平分∠BAC,∠EBC =∠E =60°. 若 BE =6cm,DE =2cm,则BC的长为 cm. 能力提升 10.[一题多辨](1)如图，在等边三角形ABC 的三边上，分别取点 D，E，F,使 AD=BE=CF,则△DEF 的形状是 . (2)如图,△ABC 为等边三角形,且∠1=∠2=∠3. ①求∠BEC 的度数. ②△DEF 是等边三角形吗 为什么 11.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,D 为底边 BC 延长线上的任意一点，过点 D 作 DE∥AB，与AC 的延长线交于点E. (1)△CDE 的形状是 . (2)若在 AC 上截取AF=CE,连接 BF,DF,判断 BF,DF 的数量关系,并给出证明. 12.如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上的一点,DE=FD,BE=CD,BD=CF. (1)△ABC 是等腰三角形吗 请说明理由. (2) 连接 EF,当∠A = 度时,△DEF 是等边三角形. 13.[推理能力]如图,在△ABC中,已知∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACG的平分线交于点F,过点F作FD∥BC,FD分别交AB,AC于点D,E. (1)求证:DE=BD-CE. (2)若∠ACB=60°,试判断△ECF 的形状,并说明理由. 参考答案 1. D 2. a≥4 3.两个锐角都大于45° 4.证明:假设与不相交,那么∥.因为∥,所以过直线外一点P有两条直线与平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，所以假设不成立，所以与相交. 5. D 6. D [解析]方法1:如图,过点E作EG⊥BC,交BC于点G. ∵AB=AC,∠A =60°,∴△ABC 是等边三角形,∴∠ACB = 60°. ∵EC=CD,∴∠CED=∠CDE=∠ACB=30°,∴∠AEF=30°,∴∠AFE=90°,即EF⊥AB. ∵△ABC 是等边三角形,AE=CE,∴BE 平分∠ABC,∴EG=EF=2. 在Rt△DEG中,DE=2EG=4,∴DF=EF+DE=2+4=6. 方法2:∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC 是等边三角形,∴∠ACB=60°. ∵EC=CI 是等边三角形,AE=CE,∴BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=30°=∠CDE, ∴BE=DE,∠BFD=90°,∴BE=2EF=4=DE,∴DF=DE+EF=6. 7.30° 8.5 9.8 [解析]如图,延长ED交BC于点M,延长AD交BC于点N. ∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AN⊥BC,BN=CN. ∵∠EBC=∠E=60°,∴△BEM 为等边三角形,∴EM=BE. ∵BE=6cm,DE=2cm,∴DM=4cm. ∵△BEM为等边三角形,∴∠EMB=60°. ∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°,∴∠NDM=30°,∴NM=2cm,∴BN=4cm,∴BC=2BN=8cm. 10.(1)等边三角形 (2)解:①∵△ABC 为等边三角形,∴∠ACB=∠3+∠BCE=60°. ∵∠2=∠3,∴∠BEF=∠2+∠BCE=60°,∴∠BEC=180°-∠BEF=120°. ②△DEF 是等边三角形.理由如下: 由①知∠BEF=60°,即∠DEF=60°. 同理,∠EFD=∠FDE=60°,∴△DEF是等边三角形. 11.解:(1)等腰三角形 (2)BF=DF.证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠E. ∵AF=CE,∴AF=DE,AF+CF=CE+CF,即 EF = AC = AB. 在 △AFB 与△EDF 中,∵∴△AFB≌△EDF(SSS)，∴BF＝DF. 12.解:(1)△ABC 是等腰三 ... ...