3.2.2 双曲线的几何性质（课件）-【中职专用】高二数学课堂（高教版2023修订版拓展模块一上册）

(课件网) 第3章 圆锥曲线 3.2.2 双曲线的几何性质 高教社数学拓展模块一（修订版）（上册） 目录ONTENTS C 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 前面，我们借助于椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质．那么，如何借助与双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质呢？ 1.范围 2.对称性 3.顶点 4.离心率 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 下面以 - =1 (a>0，b>0)为例，探究双曲线的几何性质． 1.范围 将双曲线的标准方程化为 -1 = ≥0．因为≥0 ，所以双曲线上的点满足≥1，即x ≥a ．于是有x≤-a或x≥a．这说明，双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a的右侧，如图所示． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 2.对称性 类似于前面关于椭圆对称性的研究，借助于方程 - =1 (a>0，b>0)可以发现，双曲线关于x轴、y轴和坐标原点都是对称的．x轴与y轴都称为双曲线的对称轴，坐标原点称为双曲线的对称中心(简称中心) ． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 3.顶点 令y=0，得到x=±a.因此，双曲线与x轴有两个交点 A1(-a，0) 和A2(a，0)(如图) ．双曲线与它的对称轴的两个交点A1 、A2称为双曲线的顶点，线段A1 A2称为双曲线的实轴，它的长等于2a，a是双曲线的实半轴长. 令x=0，得到y =-b ，这个方程没有实数解．因此，双曲线与y 轴没有交点．我们仍将点B1(0，-b)与B2(0，b)画在y轴上，如图所示．线段B1B2称为双曲线的虚轴，它的长等于2b，b是双曲线的虚半轴长． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.渐近线 经过点A1 、A2 分别作y 轴的平行线x=-a，x=a，经过点B1 、B2分别作x轴的平行线y=-b，y=b．这四条直线围成一个矩形，如图所示．矩形的两条对角线所在直线的方程为 y=± x． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.渐近线 观察左图可以看出，双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近但又永不相交，我们把这两条直线y=± x称为双曲线 - =1的渐近线． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 5.离心率 双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率，记作e．即 e = ． 因为c > a>0，所以双曲线的离心率e > 1．由 = = 可以看出，e越大的值越大，从而渐进线y=±x的斜率的绝对值越大，双曲线的“张口”就越大．因此，离心率e反映了双曲线的“张口”大小． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的形状？ 冷却塔做成双曲线形的是为了提高冷却的效率，底部有最大的圆周，可以最大限度地进入冷空气，冷空气到达最细部位时，接触热水，这时首先由于管径变小，空气流速加快，可以尽快的带走热水中的热量，其次由于管径变小，冷空气的体积也受到压缩，故压力也有增加，而压力增加流体的含热能力会随之增加，于是在细腰部冷空气可以最大限度的吸收热水的热量从而使热水冷却。到了最上部，管径再次扩大，已携带了大量热量的空气由于速度减慢，压力减小，又将所含的热量释放出来形成白色的水蒸气. 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例1.求双曲线4y -16x =64的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程． 解：将原方程化为标准方程，得 - =1 ．由此可知，双曲线的焦点在y轴上，a =16，b =4，c = a +b =20 ．从而a=4，b=2，c=2 ． 于是，双曲线的实轴长2a=8，虚轴长2b=4，焦点坐标为(0，- 2)、 (0，2)，顶点坐标为(0，- 4)、 (0，4)，离心率e= = ，渐进线方程为y=± x，即y=±2x ... ...