4.4 诱导公式与旋转 课标要求 1.理解利用旋转推导的正弦、余弦诱导公式的过程. 2.对诱导公式能作综合归纳,体会七组公式的共性与个性,培养由特殊到一般的推理能力. 3.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题. 【引入】 风车最早出现在波斯,如图所示的风车是由4个扇叶组成,相邻两个扇叶之间的角度为直角,我们把最右边的一个扇叶绕轴逆时针方向分别旋转的1,2,3倍,即可得到其他三个扇叶.本节课,我们利用以上原理,来研究其他几组诱导公式. 一、正弦函数、余弦函数的诱导公式 探究 设锐角α的终边与单位圆交于点P(u,v), (1)将终边绕点O沿逆时针方向旋转得到点P',即α+的终边与单位圆交于点P',求出点P'的坐标. (2)将终边绕点O沿顺时针方向旋转得到点P″,即α-的终边与单位圆交于点P″,求出点P″的坐标. _____ _____ _____ 【知识梳理】 正弦函数、余弦函数的诱导公式 sin(α+2kπ)= ,cos(α+2kπ)= ,k∈Z, sin(-α)= ,cos(-α)= , sin(α+π)=sin(π+α)= , cos(α+π)=cos(π+α)= , sin(α-π)= ,cos(α-π)= , sin(π-α)= ,cos(π-α)= , sin=cos α, cos=-sin α, sin=cos α,cos=sin α. 温馨提示 (1)±α的正弦、余弦函数值,函数名改变,把α看作锐角,符号看±α的函数值符号.简记为:“函数名改变,符号看象限”. (2)诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”.当k为偶数时,函数名不改变;当k为奇数时,函数名改变,然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”. 例1 已知cos, 求cos的值. _____ _____ _____ 思维升华 利用诱导公式求值的策略 在对给定的式子进行求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,勿将符号及三角函数名称搞错. 训练1 (1)已知cos(π+α)=-,则sin= ; (2)已知cos,则sin= . 二、利用诱导公式化简 例2 (链接教材P25例9)化简: ,其中k∈Z. _____ _____ _____ 思维升华 用诱导公式进行化简时,若遇到kπ±α的形式,需对k进行分类讨论,然后再运用诱导公式进行化简. 训练2 (链接教材P25练习T5) (1)化简:sin(α-2π)sin(α+π)-2cos·sin(α-π)-cos2= . (2)化简:= . 三、利用诱导公式解决三角形中的问题 例3 已知A,B,C为△ABC的三个内角,求证: (1)cos(2A+B+C)=cos(B+C); (2)sin. _____ _____ _____ 思维升华 1.要善于挖掘隐含条件,在△ABC中一定有A+B+C=π成立. 2.在△ABC中,若sin A=sin B或cos A=cos B,均有A=B成立. 训练3 (1)若角A,B,C是△ABC的三个内角,则下列等式一定成立的是 ( ) A.cos(A+B)=cos C B.sin(A+B)=-sin C C.cos=sin B D.sin (2)在△ABC中,sin,则△ABC为 ( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.已知sin 25.3°=a,则cos 64.7°等于 ( ) A.a B.-a C.a2 D. 2.化简sin的结果为 ( ) A.sin x B.cos x C.-sin x D.-cos x 3.已知sin,则cos= . 4.化简:= . 4.4 诱导公式与旋转 探究 提示 (1)由图可知P'(-v,u). (2)由图可知P″(v,-u). 知识梳理 sin α cos α -sin α cos α -sin α -cos α -sin α -cos α sin α -cos α 例1 解 法一 因为, 所以sin=cos, 所以sin=sin. 因为=π, 所以cos =-cos, 所以cos. 法二 设-α=β,则α=-β, 所以cos =cos(π-β)sin =-cos2β=-. 训练1 (1) (2) [(1)∵cos(π+α)=-cos α=-, ∴cos α=,则sin. (2)∵α+, ∴sin =cos.] 例2 解 当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),则原式= ==1. 当k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z), 则原式== ==1.故原式=1. 训练 ... ...
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