5.2 向量数量积的坐标表示 课标要求 1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决向量的模、夹角、垂直等有关的问题. 【引入】 前面我们学习了向量的坐标表示以及向量线性运算的坐标表示,那么向量数量积的坐标表示是怎样的呢 一、平面向量数量积的坐标表示 探究1 在平面直角坐标系中,设i,j分别是x轴和y轴方向上的单位向量,求i·i,j·j,i·j和j·i的值 _____ _____ _____ 探究2 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b为多少 _____ _____ _____ 【知识梳理】 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= ,即两个向量的数量积等于它们 . 温馨提示 数量积的定义:a·b=|a||b|cos
突出了向量的几何特征,坐标表示:a·b=x1x2+y1y2突出了向量的代数特征. 例1 (1)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则= ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 (2)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值是 . _____ _____ _____ 思维升华 (1)在给出向量或点的坐标时,一般用坐标计算数量积. (2)计算与几何图形有关的数量积,只要具备建立坐标系的条件,一般建系利用坐标进行计算. 训练1 (1)已知向量=(1,2),=(x,-4),若A,B,C三点共线,则= ( ) A.10 B.80 C.-10 D.-80 (2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,点F在AD上,,则= . 二、向量模的坐标表示 探究3 已知a=(m,n),如何计算|a|. _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.向量的模 设a=(x,y),则|a|2= ,或|a|= . 2.两点间的距离 如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),那么a= ,|a|=||= .这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式. 温馨提示 设a=(x,y),则与a共线的单位向量为±. 例2 (1)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于 ( ) A. C.5 D.25 (2)已知向量m=(2λ,-1),n=(2,λ-5),且|m+2n|=|m-2n|,则λ= ( ) A.- _____ _____ _____ 思维升华 求向量a=(x,y)的模的常见方法 a·a=a2=|a|2或|a|=,此性质可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 训练2 (1)设向量=(3,-2),=(0,6),则||= ( ) A.2 D.6 (2)已知a=(1,2),b=(x,4),且a·b=10,则|a-b|= ( ) A.5 B. 三、向量的夹角、垂直的坐标表示 探究4 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)若a,b均为非零向量,记为θ如何计算cos θ的值 (2)a⊥b的充要条件如何表示 _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.两向量夹角公式的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2, cos θ== (|a||b|≠0). 2.两个向量垂直的坐标表示 已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0. 温馨提示 (1)两向量夹角的范围为[0,π]. (2)已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b坐标表示为:a∥b x1y2-x2y1=0,注意与垂直时表达式的区别. 例3 (链接教材P110例3)已知向量a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b夹角的余弦值; (2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值. _____ _____ _____ 思维升华 解决两向量的夹角问题时,注意夹角为0或π的特殊情况.对于非零向量a与b,设其夹角为θ,则θ为锐角 cos θ>0,且cos θ≠1 a·b>0,且a≠mb(m>0);θ为钝角 cos θ<0,且cos θ≠-1 a·b<0,且a≠mb(m<0);θ为直角 cos θ=0 a·b=0. 训练3 设a=(2,x),b=(-4,5), (1)若a⊥b,求x的值; (2)若a与b的夹角θ为钝角,求x的取值范围. _____ _____ _____ 四、点到直线距离的向量表示 探究5 已知定点A和向量,点P是直线AB外一点,点P到直线AB的距离d如何用向量表示 _____ _____ _____ 【知识梳理】 已知定点A和向量,点P是直线AB外的一点,设n⊥,作向量,则在向量n上的投影数量, 是点P到直线AB的 ... ... 