课时精练14 基本不等式的综合应用 (分值:100分) 单选题每小题5分,共15分;多选题每小题6分,共18分. 一、基础巩固 1.已知x>0,则4x+-1( ) 有最大值3 有最小值3 有最小值-5 有最大值-5 2.若x>1,则4x+的最小值为( ) 4 6 8 9 3.(多选)下列各式中,最小值为2的是( ) x+-3 +-2 4.十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数a,b满足a+b=4,且+>t恒成立,则实数t的取值范围是( ) (-∞,1] (-∞,1) (-∞,2] (-∞,2) 5.(多选)下列说法正确的是( ) 若0-1)的最小值为2 已知x+y=1,x>0,y>0,则+的最小值为3+2 若正数x,y满足x2+xy-2=0,则3x+y的最小值是3 6.若“ x∈(0,+∞),不等式a0,b>0,则++b的最小值为 . 9.(10分)(1)已知-10,b>0,且a+b=4.求证: (1)+≥ ;(2)+≥ . 二、综合运用 11.(多选)已知正数a,b满足4a+2b=1,则( ) 4a+的最小值为2 ab的最大值为 +的最小值为8 16a2+4b2的最小值为 12.已知x>a,若x+的最小值大于7,写出满足条件的一个a的值 . 13.(13分)某厂家拟定在2024年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2024年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2024年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大 三、创新拓展 14.(14分)某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框,其内框与外框均为矩形,并用木条相互连结,连结木条与所连框边均垂直.水平方向的连结木条长均为8 cm,竖直方向的连结木条长均为4 cm,内框矩形的面积为3 200 cm2.(不计木料的粗细与接头处损耗) (1)如何设计外框的长与宽,才能使外框矩形面积最小 (2)如何设计外框的长与宽,才能使制作整个展示框所用木条最少 课时精练14 基本不等式的综合应用 1.B [∵x>0，∴4x＋－1≥2－1＝3， 当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立， 故4x＋－1有最小值3，无最大值. 故选B.] 2.C [∵x>1，∴x－1>0， ∴4x＋＝4(x－1)＋＋4 ≥2＋4＝8， 当且仅当4(x－1)＝即x＝时，等号成立， 所以4x＋的最小值为8，故选C.] 3.AD [对A，因为＝|x|＋， 且|x|>0， 所以|x|＋≥2＝2， 当且仅当|x|＝，即x＝±1时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对B，当x＝0时，x＋－3＝0＋(－4)－3 ＝－7， ∴x＋－3的最小值不是2，故B错误； 对C，因为>0， 所以＝＋≥2， 当且仅当＝， 即＝1时等号成立，又>，所以等号不成立，故C错误； 对D，因为>0， 所以＋－2≥2－2＝2， 当且仅当＝，即x＝4时，等号成立， 所以＋－2的最小值为2，故D正确. 故选AD.] 4.A [∵a＋b＝4≥2 ， 当且仅当a＝b＝2 时，等号成立， ∴ab≤4 ，＋＝＝≥1 ， 当且仅当a＝b＝2 时，等号成立， 又a，b不相等，∴等号不成立， ∴＋>1，∴t≤1 .故选A.] 5.AC [对于选项A，若0＜x＜，则1－3x>0， 所以x(1－3x)＝×3x×(1－3x) ≤2＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立， 所以x(1－3x)的最 ... ...
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