中小学教育资源及组卷应用平台 7.5正态分布--自检定时练--详解版 单选题 1．已知随机变量，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】根据正态分布的定义即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2.某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的曲线，利用正态分布的密度曲线的特征判断即得. 【详解】观察曲线知，. 故选：C 3.已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据正态曲线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】随机变量服从正态分布， 则该正态分布曲线的对称轴为， 即， 故，解得或， 则“”是“”的充分且不必要条件. 故选：. 4.已知随机变量，，则（ ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】由正态分布的性质可得正态分布的图像的对称轴为，由，可得，进而求得. 【详解】随机变量， 正态曲线关于对称， ， ， 故选：B. 5.巴黎奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，且.记一天中旅客人数不少于26万人的概率为，则的值约为（ ） （参考数据：若，有，，） A．0.977 B．0.9725 C．0.954 D．0.683 【答案】A 【分析】根据正态分布对称性求得答案. 【详解】因为，所以，， ， 根据正态曲线的对称性可得， . 故选：A. 6.已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性得，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】根据正态分布的对称性及已知，有，可得，则， 故， 当且仅当，则时取等号， 综上，目标式的最小值为3. 故选：B 多选题 7.已知随机变量 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由正态分布期望的性质可得A错误；由正态分布方差的性质可得B正确；由正态分布曲线的对称性可得C、D正确； 【详解】对于A，由题意，得 ，而 ，故 A 错误; 对于B，又 ，则 ，而 ， 所以 ，故 B正确; 对于C， 因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线 对称， 所以 ，故 C 正确； 对于D，由对称性，得 ， 所以 ，故 D正确. 故选： BCD. 8.随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先计算出正态分布与二项分布的期望与方差可判断AB；再分别计算正态分布与二项分布对对应随机变量的概率可判断CD. 【详解】对于正正态分布，可得其期望，， 对于二项分布，可得，， 所以，，故A正确；B错误； 由于正态分布具有对称性，由，可得，故C正确； 对于，可得 ， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 填空题 9.已知随机变量服从正态分布，若，则 ． 【答案】1 【分析】根据正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 则，可得． 故答案为：1. 10.已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】利用正态分布对称性可得，再由基本不等式中“1”的妙用求最小值. 【详解】因为随机变量，正数满足， 有对称性可知，即， 所以 ； 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：9 解答题 11.设，试求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】（1）， ，， ． （2）， 12.某地区语文考试的成绩服从正态分布，其分布密度函数图像如图所示，成绩位于区间的概率是多少？ 参考数据：若，则，，. 【答案】 【分析】根据正态分布密度函数图象与解析式，可求得，，从而得，，结合参考数据得出结果. 【详解】设成绩，则正态分布密度函数． 由题图可知参数，，即， 所以， 所以位于区间的概率是. 21世纪 ... ...
