4.4数学归纳法 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台 4.4数学归纳法 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册 一、单选题 1．用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（ ） A．1 B． C． D． 2．某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（ ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 3．用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．用数学归纳法证明“（是正整数）”，从“”到“”左端需增加的代数式为 ． 三、解答题 5．已知数列满足，，试用数学归纳法证明． 6．用数学归纳法分别证明公差为的等差数列的前项和公式与公比为的等比数列的前项和公式． 7．用数学归纳法证明：． 8．设是一个正数数列，对一切，都有证明：对一切，都有 9．证明：当时，能被64整除． 10．已知数列满足，． (1)计算：，猜想数列的通项公式，并证明你的结论； (2)若，，求k的取值范围． 11．设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 12．将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题. 已知是数列前n项和，_____. (1)求的通项公式； (2)证明：对一切，能被3整除. 13．用数学归纳法证明等式：．对一切自然数n都成立． 14．数列满足且，，，构成等差数列. (1)试求出所有三元实数组(α,β,γ)，使得为等比数列. (2)若，求的通项公式. 15．观察下列不等式：，，，，……． (1)根据这些不等式，归纳出一个关于正整数n的命题； (2)用数学归纳法证明（1）中得到的命题． 16．先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？ 参考答案 1．C 根据题意代入即可得结果. 因为， 当时，左边，故C正确. 故选：C. 2．C 根据逆否命题与原命题真假性一致可得出结论. 可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立，则可推得时该命题也不成立． 所以，当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立. 故选：C. 3．D 根据数学归纳法的知识确定正确答案. 在等式中， 当时，， 故等式的左边为，右边为. 所以第一步应该验证的等式是. 故选：D 4． 根据数学归纳法的证明过程直接得出答案. 当时，等式成立； 当时，等式左边， 则再数学归纳法证明中，从“”到“”左端需增加的代数式为， 故答案为：. 5．证明见解析 先验证时，等式成立，再假设当时等式成立，可得出，然后结合已知条件，验证当时等式也成立，由此可证明出结论成立. ①当时，左边， 右边，左边右边，原等式成立； ②假设当时等式成立，即有， 那么，当时，， ， ， ， ， 所以当时，等式也成立， 由①②知，对任意，都有. 6．证明见解析 先验证当时，两个结论都成立，然后假设当时，两个结论成立，利用数列前项和的定义推导出当时，两个结论也成立，结合归纳原理可得结论成立. 证明：先证明公差为的等差数列的前项和公式， 当时，，结论成立， 假设当时，结论成立，即， 则当时，， 这说明当时，结论也成立， 由归纳原理可知，公差为的等差数列的前项和公式. 接下来证明：公比为的等比数列的前项和公式. 因为，当时，，结论成立， 假设当时，结论成立，即， 则当时， ， 这说明当时，结论也成立， 由归纳原理可知，公比为的等比数列的前项和公式. 7．见解析 利用数学归纳法，先证明当时，等式成立，假设当时成立，证明当时等式成立即可. 解：（1）当时，左边=，右边=，等式成立， （2）假设当时，等式成立，即＋…＋＝， 当时， ＋…＋+ ， 即当时等式也成立.， 由（1）（2）可知：等式对任何都成立， 故. 8．证明见解析 利用数 ... ...