3.2 组合数及其性质（课件+学案+练习，共3份） 北师大版（2019）选择性必修 第一册 第五章

3.2　组合数及其性质 课标要求　1.掌握组合数的性质，并能利用性质解决问题. 2.掌握有限制条件的组合问题的解决方法. 3.理解组合中的分组分配问题的解决. 【引入】 在组合数的运算和化简、证明过程中，除了直接使用组合数公式外，还有与组合数有关的一些性质，这节课就来探究组合数的性质. 一、组合数性质的应用 探究1 某校高一年级将在月底进行一场篮球比赛，包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人，则可以有多少种队员上场方案 可以有多少种队员不上场方案 这两种方案有什么关系 探究2 在上述问题中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类:当体育委员入选时，有种选法;当体育委员未入选时有， 有种选法.这与直接选5人参加的选法种数一样吗 你能得出什么结论 【知识梳理】 组合数的性质 (1)=　　　　. (2)　　　　=+. 其中m，n∈N+且m≤n. 温馨提示　(1)在性质(1)中:两边下标相同，上标之和等于下标. (2)在性质(2)中，下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1个而上标与大的相同的一个组合数. 例1 (1)(链接教材P174习题5-3A组T2)化简:+++++; (2)求证:=+2+. 思维升华　(1)性质“=”的意义及作用 (2)要注意=+的顺用、逆用及其变形应用.顺用是将一个组合数拆成两个;逆用则是“合二为一”;变形一般为=-，它为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用. 训练1 (1)(多选)已知=，则x的可能取值为 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 (2)+++++= (　　) A. B. C. D. 二、有限制条件的组合问题 例2 已知有男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法 (1)男运动员3名，女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)队长中至少有1人参加; (4)既要有队长，又要有女运动员; 思维升华　有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，其解法常用两种解决思路:一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏;二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 训练2 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法 (1)至少有一名队长当选; (2)至多有两名女生当选; (3)既要有队长，又要有女生当选. 三、分组、分配问题 角度1　不同元素的分组分配问题 例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分组方法 (1)每组2本(平均分组); (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组); (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组). 角度2　相同元素的分配问题 例4 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数. (1)每个盒子都不空; (2)恰有一个空盒子; (3)恰有两个空盒子. 思维升华�———�分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种: ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等; ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n!; ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 训练3 (1)《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代的14种算法，其中积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算等13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数可表示为 (　　) ... ...