人教版五年级数学下册《长方体和正方体的认识》讲义

五年级数学下册《长方体和正方体的认识》讲义 一、考点梳理 （一）长方体和正方体的特征 ★长方体：有 6 个面，每个面一般是长方形，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。有 12 条棱，相对的棱长度相等，可分为三组，每组有 4 条棱。有 8 个顶点。相交于同一顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 ★正方体：正方体有 6 个面，每个面都是正方形，且 6 个面完全相同；有 12 条棱，12 条棱的长度都相等；有 8 个顶点。正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高都相等时，就变成了正方体。 （二）长方体和正方体的棱长总和 ★长方体棱长总和：，用字母表示为，其中表示长，表示宽，表示高。 ★正方体棱长总和：，用字母表示为，其中表示正方体的棱长。 二、重点题型解析 （一）长方体和正方体特征的应用 例 1：用一根铁丝刚好可以做成一个长 8 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米的长方体框架，如果用这根铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？ 【解题思路】首先，求出长方体的棱长总和，因为这根铁丝的长度不变，所以长方体的棱长总和就是正方体的棱长总和。根据长方体棱长总和公式，可算出长方体棱长总和。再根据正方体棱长总和公式，用正方体棱长总和除以 12，就能得到正方体的棱长。 【解题过程】长方体棱长总和：（厘米），正方体棱长：（厘米）。 （二）棱长变化对表面积和体积的影响 例 2：一个正方体的棱长扩大到原来的 3 倍，它的表面积和体积分别扩大到原来的多少倍？ 【解题思路】设原正方体的棱长为，根据正方体表面积公式和体积公式，分别计算出原正方体的表面积和体积。当棱长扩大到原来的 3 倍，变为时，再计算出此时正方体的表面积和体积。最后分别与原表面积和体积作比较，得出扩大的倍数。 【解题过程】原正方体表面积，体积。棱长扩大 3 倍后，新正方体表面积，；新正方体体积，。所以，表面积扩大到原来的 9 倍，体积扩大到原来的 27 倍。 三、巩固练习 （一）基础题 建筑工人要做一个长 5 厘米，宽 4 厘米，高 3 厘米的长方体模型，用来展示建筑结构。请问搭建这个长方体模型所需的铁丝长度总和是多少厘米？ 春节前夕，妈妈买了一个正方体形状的礼盒用来装年货，这个礼盒的棱长是 8 分米。为了美观，妈妈想给礼盒每个面都贴上漂亮的彩纸，那么每个面需要多大面积的彩纸呢？ （二）进阶题 手工课上，老师给同学们发了一根 96 厘米长的铁丝，要求大家做一个尽可能大的正方体框架，然后在它的表面糊上彩色卡纸。那么，至少需要准备多少平方厘米的彩色卡纸呢？ 美术课上，老师让同学们把一个棱长为 6 厘米的正方体橡皮泥切成棱长为 2 厘米的小正方体，用来制作立体拼图。请问一共可以得到多少个小正方体？ （三）拓展题 一个饼干盒是长方体形状，若它的高增加 2 厘米，就变成一个正方体，此时表面积比原来增加 56 平方厘米。那么这个饼干盒原来的体积是多少立方厘米？ 有一个长方体水箱，从里面量底面是边长为 4 分米的正方形，水箱内原来装的水深 1.5 分米。放入一个棱长 2 分米的正方体铁块后（铁块完全没入水中），水箱里的水面升高了多少分米？ 参考答案 （一）基础题 （厘米） （平方分米） （二）进阶题 正方体棱长：（厘米），表面积：（平方厘米） 大正方体体积：（立方厘米），小正方体体积：（立方厘米），（个） （三）拓展题 增加的面是 4 个相同的长方形，一个面的面积：（平方厘米），正方体棱长：（厘米），原长方体高：（厘米），原长方体体积：（立方厘米） 正方体铁块体积：（立方分米），水箱底面积：（平方分米），水面升高：（分米） ... ...