人教版五年级数学下册《长方体与正方体的体积》讲义

五年级数学下册《长方体与正方体的体积》讲义 一、考点梳理 （一）体积的概念 ★物体所占空间的大小叫做物体的体积。常用的体积单位有立方厘米（）、立方分米（）、立方米（）。棱长为 1 厘米的正方体，体积是 1 立方厘米；棱长为 1 分米的正方体，体积是 1 立方分米；棱长为 1 米的正方体，体积是 1 立方米。 （二）长方体和正方体体积公式 ★长方体体积公式：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高，用字母表示为，其中为长，为宽，为高。长方体体积也可以表述为底面积 × 高，即 ，。 ★正方体体积公式：正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长，用字母表示为，这里表示正方体的棱长。由于正方体底面是正方形，其底面积，所以正方体体积同样可以用底面积 × 高来计算，即。 （三）体积单位间的进率 1 立方米 = 1000 立方分米，1 立方分米 = 1000 立方厘米，1 立方米 = 1000000 立方厘米。高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。 （四）排水法测量体积 当测量一些形状不规则的物体体积时，常用排水法。将物体浸没在盛水的容器中，水面上升的那部分水的体积，就等于物体的体积。若容器为长方体或正方体，可通过计算放入物体前后水的体积差来得到物体体积，即，其中为容器的底面积，为水面上升的高度。 二、重点题型解析 （一）长方体体积公式的应用 例 1：一个长方体水箱，从里面量长 40 厘米，宽 30 厘米，高 20 厘米。这个水箱能装多少升水？ 【解题思路】本题求水箱的容积，水箱是长方体形状，容积计算方法和体积相同。利用长方体体积公式，算出体积后，再将单位由立方厘米换算为升。1 升 = 1000 立方厘米。 【解题过程】（立方厘米），24000 立方厘米 = 24000÷1000 = 24 升。 （二）正方体体积公式的应用 例 2：用棱长 1 厘米的小正方体拼成一个稍大的正方体，至少需要多少个小正方体？拼成的正方体体积是多少？ 【解题思路】正方体棱长都相等，要用小正方体拼成大正方体，每条棱上至少需要 2 个小正方体。这样就能算出小正方体个数，再根据正方体体积公式算出拼成后的正方体体积。 【解题过程】每条棱上至少 2 个小正方体，那么总共需要小正方体（个）。拼成后的大正方体棱长为 2 厘米，体积（立方厘米）。 （三）体积公式的变换 例 3：一个长方体的体积是 3.6 立方米，已知它的底面积是 240 平方分米，它的高是多少米？ 【解题思路】本题涉及单位换算，先将底面积的单位由平方分米换算为平方米，再根据长方体体积公式的变形算出高。 【解题过程】240 平方分米 = 240÷100 = 2.4 平方米，（米）。 （四）排水法的应用 例 4：一个底面边长为 5 分米的正方形的长方体玻璃容器，里面装有水。将一块不规则的石头浸没在水中后，水面从原来的 2 分米上升到了 2.2 分米。这块石头的体积是多少立方分米？ 【解题思路】根据排水法，石头的体积等于水面上升的那部分水的体积。容器底面是正方形，可先算出容器底面积，再乘以水面上升的高度，得到石头体积。 【解题过程】容器底面积（平方分米），水面上升高度（分米），石头体积（立方分米）。 三、巩固练习 （一）基础题 一个正方体的棱长是 5 厘米，它的体积是多少立方厘米？ 一个长方体的长是 8 分米，宽是 6 分米，高是 4 分米，它的体积是多少立方分米？ 在一个棱长为 10 厘米的正方体容器里装满水，然后将水倒入一个长 20 厘米、宽 10 厘米的长方体容器中，求此时长方体容器中水的高度。 （二）进阶题 要制作一个无盖的长方体水槽，长 8 分米，宽 4 分米，高 3 分米，至少需要多少平方分米的铁皮？这个水槽最多能装多少升水？ 把一个棱长为 6 分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？ 一个长方体玻璃缸，从里面量长 40 ... ...