中小学教育资源及组卷应用平台 第9节 圆中的计算(1) 一、知识梳理 【例】如图9-1所示,直线MN交⊙O 于点A,B,AC是直径,AD 平分∠CAM交⊙O 于点 D,过点 D 作 DE⊥MN于点 E. C (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)若DE=4cm,AE=3cm,求⊙O的半径. (1)证明:连接OD,如图9-2所示. ∵OA=OD, ∴∠1=∠2. ∵AD 平分∠CAM, ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3. ∴MN∥OD. ∵DE⊥MN, ∴DE⊥OD. ∴ DE 是⊙O 的切线. (2)解:连接CD,如图9-3所示. ∵AC是⊙O的直径, ∴∠ADC=90°. ∵DE⊥MN,DE=4cm,AE=3cm, ∴∠AED=90°, ∴∠ADC=∠AED. 又∵∠2=∠3, ∴ △ADC∽△AED. 即 解得 即⊙O的半径为 二、分层练习 万丈高楼平地起 1. 如图9-4所示,AB 是⊙O 的直径,点C在⊙O上,AD 和过点 C的切线CD互相垂直，垂足为点 D. (1)求证:∠CAD=∠CAB; (2)若AC=8,OA=5,求CD的长. 2. 如图9-5所示,. 的边AB是⊙O的直径,边AC交⊙O于点 D,边BC与⊙O 相切于点B,点E在⊙O上,连接BD,BE,DE. (1)求证: (2)已知 求⊙O的半径. 3. 如图9-6所示,在 中,以BC为直径的⊙O交AC于点 E,过点 E 作 AB的垂线交AB 于点 F，交 CB的延长线于点 G，且. (1)求证:EG是⊙O 的切线; (2)若 求⊙O 的半径. 4. 如图9-7所示,在 中， ,以 BC为直径作⊙O,交AC 于点 M,作CD⊥AC交AB 的延长线于点 D,过点B作⊙O 的切线BE,交CD 于点E. (1)证明:BE=DE; (2)若⊙O 的半径为5,AM=4,求DE 的长. 5. 如图9-8所示,⊙O是 的外接圆， 过点A作 交⊙O于点 D,连接CD,延长DA到点 E,连接CE, (1)求证:CE是⊙O 的切线; (2)若 求⊙O的半径. 6. 如图9-9所示,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,过点C的切线交DA 的延长线于点 E，且 连接CD,BC. (1)求证: (2)若 求 EC 的长. 7. 如图9-10所示,AB为⊙O 的直径,AC为⊙O 的弦,过⊙O外的一点 D 作 于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且 作 于点 H. (1)判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若 求AC的长. 8. 如图9-11 所示,AB 是⊙O 的直径,弦 于点G，点 F 是CD上的一点，且满足 连接AF并延长,交⊙O 于点E,连接AD,DE.若( (1)求证: (2)求 FG的长; (3)求 tan∠E 的值. 9. 如图9-12所示,点C 在以AB 为直径的⊙O 上, 的角平分线交⊙O于点 D.过点 D 作AB的平行线，交 CA的延长线于点 E. (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)若 求DE 的长度. 10. 如图9-13所示,⊙O是 的外接圆， ，过点A作 ,交⊙O于点D，交BC于点E，过点B 作⊙O 的切线，交DA的延长线于点 F. (1)求证: (2)若⊙O的半径为2,. ,求DE的长. 第9节 圆中的计算(1) 万丈高楼平地起 1.(1)证明:如图62所示,连接OC. ∵ CD 是⊙O 的切线,点 C 为切点, ∴∠DCO=90°. ∵AD⊥CD, ∴∠ADC=90°,AD∥OC. ∴ ∠DAC=∠ACO. ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠ACO,则∠CAD=∠CAB. (2)解:如图63所示,连接OC,BC. ∵AB是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°. ∵AC=8,AB=2AO=10, ∵∠ACB=∠ADC,∠CAD=∠CAB, ∴ △ADC∽△ACB. 即 解得CD=4.8. 2.(1)证明:∵AB是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90°. ∴ ∠BAD+∠ABD=90°. ∵BC与⊙O 相切于点 B, ∴AB⊥BC,∠ABC=90°. ∴∠CBD+∠ABD=90°. ∴∠CBD=∠BAD. ∴∠BAD=∠E. ∴ ∠CBD=∠E. 解: ∴∠E=30°. ∴∠CBD=∠BAD=∠E=30°. ∵CD=2, ∴⊙O的半径为： 3.(1)证明:如图64 所示,连接OE,BE. ∴∠C=∠A. ∴BC=BA. ∵ BC是⊙O的直径, ∴∠CEB=90°. ∴CE=AE. ∵CO=OB, ∴OE∥AB. ∵GE⊥AB 于点 F, ∴EG⊥OE. ∵OE是⊙O的半径, ∴ EG是⊙O 的切线. (2)解:∵AC=8, ∴CE=AE=4. ∴BE=2. ，即⊙O的半径为 4.(1)证明:∵CD⊥AC, ∴ ∠A+∠D=90°. ∵BE与⊙O 相切于点 B, ∴CB⊥BE. ∴∠CBA+∠EBD=90°. ∵AC=BC, ∴∠A=∠CBA. ∴∠EBD=∠D. ∴BE=DE. (2)解:如图65所示,连接MB. ∵ BC是⊙O 的直径,⊙O的半径为5, ∴BM⊥AC,AC=BC=2×5=10. ∵AM=4, ∴MC=AC-AM=10 ... ...
