专题02 实数及其运算【知识串讲+九大考点】（原卷版+解析版）-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）

专题02 实数及其运算 （一）实数概念及分类 （1）实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数或无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 正实数 实数 0 负实数 整数包括正整数、零、负整数。 零和正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 （2）无理数归类 ①开方开不尽的数，如等； ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； ③有特定结构的数，如0.1010010001…等； （二）实数的大小比较 （1）实数与数轴上点的关系： 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来， 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数， 实数与数轴上的点就是一一对应的 （2）实数大小的比较常用方法： ①数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 ②求差比较：设a、b是实数， ③求商比较法：设a、b是两正实数， ④绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 ⑥平方法：设a、b是两负实数，则。 （三）实数的运算 （1）运算定律 ①加法交换律 ②加法结合律 ③乘法交换律 ④乘法结合律 ⑤乘法分配律 （2）实数混合运算运算顺序： 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 （四）实数非负性考查 （1）在实数范围内，正数和零统称为非负数。 （2）非负数有三种形式 ①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 （3）非负数具有以下性质 ①非负数有最小值零； ②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 考点1：实数的分类 典例1：下列实数中，有（ ）个有理数． 、、、、、9、0.01001000100001… A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】下列各数：，，，， ，，0.585885888588885…（相邻两个5 之间8的个数逐次加1）中，无理数有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】 已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_____，分数有：_____，无理数有：_____．（只需填写序号） 【变式3】把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ _____…}； 整数：{ _____…}； 分数：{ _____…}； 实数：{ _____…}． 考点2：实数的性质 典例2：设、为实数，则下列说法正确的是（ ） A．，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【变式1】下列说法： ①一个无理数的相反数一定是无理数； ②一个有理数与一个无理数的和或差或积一定是无理数； ③一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算； ④实数的倒数是． 其中，正确的说法有（ ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【变式2】 下列说法：①立方根等于本身的数是，0，1；②没有平方根；③两个无理数的和还是无理数；④若，，则；⑤若，则；⑥，则是负数，其中正确的序号是 ． 【变式3】对于任意两个实数a，b，定义一种新运算“”，规定．如，那么 ，的最小值为 ． 考点3：实数与数轴 典例3：如图，数轴上点P表示的数可能是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式2】 如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为 ． 【变式3】已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ． 考点4：实数的大小比较 典例4 ... ...