第一讲 ：整除特性 知识精讲 整除的概念 如果整数a除以整数,除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a,记作. 如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a. 如果自然数a和b都能被自然数整除，那么它们的和“”或差“”也能被c整除。例如：60能被5整除，40能被5整除，它们的和及差也能被5整除. 尾数判别法 1.能被2,5整除的数的特性：末一位数能被2或5整除. 2.能被4,25整除的数的特性：末两位数能被4或25整除. 3.能被8,125整除的数的特性：末三位数能被8或125整除. 数字求和法 能被3,9整除的数的特性：各位数字之和能被3或9整除. 如果一个数的各位数字之和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除.对于一个数位较多的数来说，直接用数字求和法比较麻烦，可以用“弃三法”或“弃九法”来计算，即可以先抛弃和为3或9的倍数的数字，再把剩余的数字求和. 多个数的整除特性 我们已经学习了如何利用“整除特性”解决单个数的整除问题.如果涉及多个数的整除问题，我们应该先单独考虑，再找到能同时满足题意的答案，例如：一个数既能被5整除，又能被3整除，可先看满足被5整除的数的特性，确定尾数，再看能被3整除的数的特性. 若一个数能被45整除，由,能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特性即可. 注意若将45拆成,此时15既是15的倍数，又是3的倍数，但是15不是45的倍数，所以需要寻找合适的拆数方法. 题型汇总 题型一：2、5、3的倍数特征 1．一个数个位上是0或5，这个数就是5的倍数吗？一个数个位上是0、2、4、6或8，这个数就是2的倍数吗？举例验证一下。 【答案】是；是；举例见详解 【分析】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 【详解】一个数个位上是0或5，这个数就是5的倍数，如10、15、20、25、135…… 一个数个位上是0、2、4、6或8，这个数就是2的倍数，如12、14、16、18、100…… 2．文具店运来45块橡皮擦，如果每2块装一盒，能正好装完吗？如果每3块装一盒，能正好装完吗？如果每5块装一盒，能正好装完吗？请说明理由。 【答案】不能；能；能 【分析】45的个位是5，所以它不是2的倍数；4＋5＝9，所以45是3的倍数；45的个位是5，所以45是5的倍数。据此再结合题意，解题即可。 【详解】答：每2块装一盒，不能正好装完； 每3块装一盒，能正好装完； 每5块装一盒，能正好装完。 因为45是3和5的倍数，不是2的倍数。 【点睛】本题考查了2、5、3的倍数特征。个位上是0、2、4、6、8的数，是2的倍数；个位上是0或5的数，是5的倍数；各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。 题型二：6、9的倍数特征 1．按照得出2、3、5倍数特征的学习经验，探索6的倍数特征。 类别 2的倍数 5的倍数 3的倍数 特征 个位上是0，2，4，6，8的数 个位上是0或5的数 一个数各位上的数的和是3的倍数 举例 4、10、22、34、68 10、35、80、95、115 9、18、54、87、141 （1）我的猜想：6的倍数特征是（ ）。 （2）我的验证：用自己喜欢的方式验证你的猜想。 （3）我的结论（ ）。 【答案】见详解 【分析】（1）6＝2×3，6的倍数特征应该与2和3的倍数的特征有关，2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。将2和3的倍数的特征整合后是6的倍数的特征； （2）举例进行验证即可； （3）根据验证情况，猜想如果成立，猜想即可以作为结论。 【详解】（1）猜想：6的倍数特征是个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 （2）验证：6、12、18、24、30、36…都是6的倍数。 1＋2＝3、1＋8＝9、2＋4＝6、3＋6＝9 个位 ... ...
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